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Tronc Commun · Sciences · Chapitre 10

Calcul trigonométrique (2)

Ce deuxième volet met le cercle trigonométrique au service de la résolution : équations et inéquations trigonométriques. On y établit les trois formules-clés — cos x = cos α ⟺ x = 2kπ ± α, sin x = sin α ⟺ x = α + 2kπ ou π − α + 2kπ, et tan x = tan α ⟺ x = α + kπ — puis la démarche commune : reconnaître un angle remarquable, appliquer la bonne formule, et résoudre les égalités du premier degré obtenues en x. On apprend à traiter les arguments composés (2x, x − π/3…), les équations qui se ramènent à une équation algébrique en posant X = cos x, et surtout à restreindre les solutions à un intervalle donné en encadrant l'entier k. La seconde moitié passe aux inéquations, lues directement sur les arcs du cercle (abscisses pour le cosinus, ordonnées pour le sinus), avec le cas particulier de la tangente qu'il faut découper aux valeurs interdites π/2 + kπ. Le chapitre se clôt sur la loi des sinus a/sin = b/sin B̂ = c/sin Ĉ = 2R, outil de calcul dans un triangle quelconque.

1 · Résumé du cours

La première partie a défini le cercle trigonométrique et les relations entre les lignes trigonométriques. On les utilise ici pour résoudre des équations et des inéquations trigonométriques. Les trois idées essentielles : lire sur le cercle, reconnaître un angle remarquable, et restreindre à l'intervalle demandé.

1.1 Préliminaires indispensables

Propriété — valeurs possibles et périodes Pour tout xx : −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1 et −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1. La tangente existe pour x≠π2+kπx\ne\frac\pi2+k\pi. Enfin cos⁡\cos et sin⁡\sin ont pour période 2π2\pi, tan⁡\tan pour période π\pi.
Avant de commencer une résolution Vérifier trois points : (1) la valeur est-elle possible ? (cos⁡x=2\cos x=2 n'a aucune solution) ; (2) l'expression est-elle définie ? (indispensable avec une tangente) ; (3) résout-on dans R\mathbb{R} ou dans un intervalle imposé ?
Méthode — reconnaître un angle de référence Chercher α\alpha tel que cos⁡α=a\cos\alpha=a (ou sin⁡α=a\sin\alpha=a, ou tan⁡α=a\tan\alpha=a), puis transformer l'équation en égalité de deux cosinus, deux sinus ou deux tangentes. Les valeurs fréquentes sont celles de 0,π6,π4,π3,π20,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2.

1.2 Équations de la forme cos⁡x=a\cos x=a

Théorème Si a<−1a<-1 ou a>1a>1, cos⁡x=a\cos x=a n'a pas de solution. Si −1≤a≤1-1\le a\le1, il existe un unique α∈[0,π]\alpha\in[0,\pi] avec cos⁡α=a\cos\alpha=a, et cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=2kπ±α,k∈Z.\boxed{\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha,\quad k\in\mathbb{Z}.}
Propriété — cas particuliers EˊquationSolutions dans Rcos⁡x=0x=π2+kπcos⁡x=1x=2kπcos⁡x=−1x=π+2kπ(k∈Z)\begin{array}{c|c}\text{Équation}&\text{Solutions dans }\mathbb{R}\\\hline \cos x=0&x=\frac\pi2+k\pi\\ \cos x=1&x=2k\pi\\ \cos x=-1&x=\pi+2k\pi\end{array}\qquad(k\in\mathbb{Z})

Exemple. cos⁡x=−12=cos⁡2π3\cos x=-\frac12=\cos\frac{2\pi}{3}, donc x=2π3+2kπx=\frac{2\pi}{3}+2k\pi ou x=−2π3+2kπx=-\frac{2\pi}{3}+2k\pi, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

1.3 Équations de la forme sin⁡x=a\sin x=a

Théorème Si a<−1a<-1 ou a>1a>1, pas de solution. Si −1≤a≤1-1\le a\le1, il existe un unique α∈[−π2,π2]\alpha\in[-\frac\pi2,\frac\pi2] avec sin⁡α=a\sin\alpha=a, et sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ  ou  x=π−α+2kπ,k∈Z.\boxed{\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi\ \text{ ou }\ x=\pi-\alpha+2k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}
Propriété — cas particuliers EˊquationSolutions dans Rsin⁡x=0x=kπsin⁡x=1x=π2+2kπsin⁡x=−1x=−π2+2kπ(k∈Z)\begin{array}{c|c}\text{Équation}&\text{Solutions dans }\mathbb{R}\\\hline \sin x=0&x=k\pi\\ \sin x=1&x=\frac\pi2+2k\pi\\ \sin x=-1&x=-\frac\pi2+2k\pi\end{array}\qquad(k\in\mathbb{Z})

Exemple. sin⁡x=−12\sin x=-\frac12, angle de référence α=−π6\alpha=-\frac\pi6 : x=−π6+2kπx=-\frac\pi6+2k\pi ou x=π+π6+2kπ=7π6+2kπx=\pi+\frac\pi6+2k\pi=\frac{7\pi}{6}+2k\pi.

Ne pas confondre les deux formules Pour le cosinus, les angles partenaires sont α\alpha et −α-\alpha. Pour le sinus, α\alpha et π−α\pi-\alpha. Un dessin rapide sur le cercle retrouve ces symétries.

1.4 Équations de la forme tan⁡x=a\tan x=a

Théorème Pour tout a∈Ra\in\mathbb{R}, il existe un unique α∈]−π2,π2[\alpha\in\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[ avec tan⁡α=a\tan\alpha=a, et tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ,k∈Z.\boxed{\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi,\quad k\in\mathbb{Z}.}
Propriété — domaine de définition Avant de résoudre une équation contenant tan⁡u\tan u, imposer u≠π2+kπu\ne\frac\pi2+k\pi. Automatique pour tan⁡x=a\tan x=a, mais à écrire quand l'argument est par exemple 2x+π42x+\frac\pi4.

Exemple. tan⁡(2x+π4)=−1\tan\left(2x+\frac\pi4\right)=-1 : domaine x≠π8+kπ2x\ne\frac\pi8+\frac{k\pi}2 ; comme −1=tan⁡(−π4)-1=\tan(-\frac\pi4), 2x+π4=−π4+kπ2x+\frac\pi4=-\frac\pi4+k\pi, d'où x=−π4+kπ2x=-\frac\pi4+\frac{k\pi}2.

1.5 Équations avec des arguments différents

Propriété — trois formes à connaître Pour u,vu,v réels (tangentes définies) : cos⁡u=cos⁡v  ⟺  u=v+2kπ  ou  u=−v+2kπ,sin⁡u=sin⁡v  ⟺  u=v+2kπ  ou  u=π−v+2kπ,tan⁡u=tan⁡v  ⟺  u=v+kπ,k∈Z.\begin{array}{rcl}\cos u=\cos v&\iff&u=v+2k\pi\ \text{ ou }\ u=-v+2k\pi,\\ \sin u=\sin v&\iff&u=v+2k\pi\ \text{ ou }\ u=\pi-v+2k\pi,\\ \tan u=\tan v&\iff&u=v+k\pi,\end{array}\qquad k\in\mathbb{Z}. Chaque égalité obtenue est ensuite une équation du premier degré en xx.
Méthode — résoudre une équation composée (1) vérifier le domaine si tangente/quotient ; (2) écrire la constante comme ligne trigonométrique d'un angle remarquable ; (3) appliquer la formule cos⁡\cos/sin⁡\sin/tan⁡\tan ; (4) résoudre chaque égalité en xx ; (5) simplifier les familles identiques et restreindre si demandé.

Exemple. cos⁡(2x)=cos⁡(x−π3)\cos(2x)=\cos\left(x-\frac\pi3\right) donne 2x=x−π3+2kπ2x=x-\frac\pi3+2k\pi ou 2x=−(x−π3)+2kπ2x=-(x-\frac\pi3)+2k\pi, d'où x=−π3+2kπx=-\frac\pi3+2k\pi ou x=π9+2kπ3x=\frac\pi9+\frac{2k\pi}3.

1.6 Équations se ramenant à une équation algébrique

Méthode — poser une inconnue auxiliaire (1) poser X=cos⁡xX=\cos x (ou sin⁡x\sin x, tan⁡x\tan x) ; (2) résoudre l'équation algébrique en XX par factorisation ; (3) revenir à xx et résoudre chaque équation trigonométrique ; (4) éliminer toute valeur impossible (ex. cos⁡x=3\cos x=3).

Exemple. 2cos⁡2x−3cos⁡x+1=0=(2cos⁡x−1)(cos⁡x−1)2\cos^2x-3\cos x+1=0=(2\cos x-1)(\cos x-1) : cos⁡x=12\cos x=\frac12 ou cos⁡x=1\cos x=1, donc x=±π3+2kπx=\pm\frac\pi3+2k\pi ou x=2kπx=2k\pi.

1.7 Restreindre les solutions à un intervalle

Méthode — encadrer l'entier relatif Après résolution dans R\mathbb{R}, on obtient x=x0+kTx=x_0+kT. Pour garder les solutions d'un intervalle II, écrire x0+kT∈Ix_0+kT\in I, encadrer kk, et ne conserver que ses valeurs entières.

Exemple. Dans ]−π,π]]-\pi,\pi], cos⁡(2x)=32=cos⁡π6\cos(2x)=\frac{\sqrt3}2=\cos\frac\pi6 donne x=π12+kπx=\frac\pi{12}+k\pi ou x=−π12+kπx=-\frac\pi{12}+k\pi. En encadrant kk : S={−11π12,−π12,π12,11π12}.S=\left\{-\frac{11\pi}{12},-\frac\pi{12},\frac\pi{12},\frac{11\pi}{12}\right\}.

Intervalle ouvert ou fermé Recopier les crochets de l'intervalle dans l'encadrement : x∈[0,2π[x\in[0,2\pi[ signifie 0≤x<2π0\le x<2\pi, la valeur 00 est admise mais 2π2\pi exclue, même si les deux repèrent le même point.

1.8 Inéquations trigonométriques sur le cercle

Méthode — procédure générale (1) transformer la valeur en valeur remarquable ; (2) placer sur le cercle les points d'égalité ; (3) sélectionner les arcs vérifiant l'inégalité ; (4) lire les abscisses des extrémités ; (5) adapter les crochets à <,≤,>,≥<,\le,>,\ge ; (6) intersecter avec l'intervalle II. Pour le cosinus on compare les abscisses, pour le sinus les ordonnées.

1.8.1 Inéquations portant sur le cosinus

Propriété — lecture horizontale cos⁡x\cos x est l'abscisse du point associé à xx. La droite verticale X=aX=a partage le cercle : à droite cos⁡x≥a\cos x\ge a, à gauche cos⁡x≤a\cos x\le a.

Exemple. Dans ]−π2,π]\left]-\frac\pi2,\pi\right], cos⁡x≤12\cos x\le\frac12 : l'égalité a lieu en x=±π3x=\pm\frac\pi3, et la partie à gauche de X=12X=\frac12 donne S=]−π2,−π3]∪[π3,π].S=\left]-\frac\pi2,-\frac\pi3\right]\cup\left[\frac\pi3,\pi\right].

1.8.2 Inéquations portant sur le sinus

Propriété — lecture verticale sin⁡x\sin x est l'ordonnée du point associé à xx. La droite horizontale Y=aY=a partage le cercle : au-dessus sin⁡x≥a\sin x\ge a, au-dessous sin⁡x≤a\sin x\le a.

Exemple. Dans [0,2π[[0,2\pi[, sin⁡x≥12\sin x\ge\frac12 : bornes π6\frac\pi6 et 5π6\frac{5\pi}6, arc au-dessus de Y=12Y=\frac12, bornes incluses : S=[π6,5π6]S=\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right].

1.8.3 Inéquations portant sur la tangente

Propriété — travailler entre deux valeurs interdites Sur chaque intervalle ]−π2+kπ,π2+kπ[\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[, la tangente croît de −∞-\infty à +∞+\infty. Les nombres π2+kπ\frac\pi2+k\pi sont toujours exclus.

Exemple. Dans ]−π2,π2[\left]-\frac\pi2,\frac\pi2\right[, tan⁡x≥1=tan⁡π4\tan x\ge1=\tan\frac\pi4 : la tangente y étant croissante, x≥π4x\ge\frac\pi4, donc S=[π4,π2[S=\left[\frac\pi4,\frac\pi2\right[ (π2\frac\pi2 interdite).

Attention aux discontinuités de la tangente On ne traite pas tan⁡x\tan x comme si elle était croissante sur tout R\mathbb{R}. Il faut découper aux points π2+kπ\frac\pi2+k\pi, résoudre sur chaque morceau, puis réunir.

1.9 Inéquations transformées et tableaux de signes

Méthode — produit ou quotient de facteurs (1) déterminer le domaine ; (2) résoudre les équations qui annulent chaque facteur ; (3) ranger les valeurs critiques dans l'intervalle ; (4) donner le signe de chaque facteur ; (5) dresser un tableau de signes et lire la ligne du produit/quotient. Une valeur qui annule un dénominateur est toujours exclue.

Exemple. Pour le signe de (2cos⁡x−1)(tan⁡x+1)(2\cos x-1)(\tan x+1) sur [0,π][0,\pi], on exclut π2\frac\pi2, les valeurs critiques sont π3\frac\pi3 (2cos⁡x−1=02\cos x-1=0) et 3π4\frac{3\pi}4 (tan⁡x+1=0\tan x+1=0), et on range 0<π3<π2<3π4<π0<\frac\pi3<\frac\pi2<\frac{3\pi}4<\pi avant d'étudier les signes (double barre en π2\frac\pi2).

Les réflexes qui évitent les erreurs
  • Jamais de solution si ∣a∣>1|a|>1 dans sin⁡x=a\sin x=a ou cos⁡x=a\cos x=a.
  • Ne pas oublier la deuxième famille pour le sinus et le cosinus.
  • kπk\pi pour la tangente, mais 2kπ2k\pi pour sinus et cosinus.
  • Si l'argument est 2x2x ou 3x3x, diviser toute l'égalité, y compris le kπk\pi.
  • Pour un intervalle, vérifier chaque solution dans l'équation initiale.
  • Bornes incluses avec ≤\le/≥\ge, sauf si interdites par le domaine.

1.10 Complément : la loi des sinus

Théorème — loi des sinus Dans un triangle ABCABC, avec a=BCa=BC, b=ACb=AC, c=ABc=AB opposés à A^,B^,C^\widehat A,\widehat B,\widehat C, et RR le rayon du cercle circonscrit : asin⁡A^=bsin⁡B^=csin⁡C^=2R.\boxed{\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=\frac{c}{\sin\widehat C}=2R.}
Méthode — choisir la bonne égalité Pour un côté inconnu, utiliser deux quotients dont l'un est connu ; pour le rayon, comparer un quotient connu à 2R2R. Toujours associer chaque côté à l'angle qui lui est opposé.
L'essentiel du chapitre
  • cos⁡x=cos⁡α  ⟺  x=2kπ±α\cos x=\cos\alpha\iff x=2k\pi\pm\alpha.
  • sin⁡x=sin⁡α  ⟺  x=α+2kπ\sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2k\pi ou x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi.
  • tan⁡x=tan⁡α  ⟺  x=α+kπ\tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+k\pi (en respectant le domaine).
  • Équation composée : appliquer la formule, puis résoudre les égalités en xx.
  • Intervalle imposé : encadrer kk et garder ses valeurs entières.
  • Une inéquation se lit sur les arcs : abscisses pour cos⁡\cos, ordonnées pour sin⁡\sin.
  • Les points π2+kπ\frac\pi2+k\pi sont toujours interdits pour la tangente.
  • Dans un triangle, asin⁡A^=bsin⁡B^=2R\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=2R.

2 · Exercices résolus

Équation, intervalle

Exercice 1

Résoudre dans [0,2π[[0,2\pi[ : sin⁡x=22\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}.

Voir la correction

1. Valeur possible. −1≤22≤1-1\le\frac{\sqrt2}2\le1 : l'équation peut avoir des solutions.

2. Angle remarquable. sin⁡π4=22\sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}2, donc l'équation devient sin⁡x=sin⁡π4\sin x=\sin\frac\pi4.

3. Résolution dans R\mathbb{R}. x=π4+2kπoux=π−π4+2kπ=3π4+2kπ.x=\frac\pi4+2k\pi\quad\text{ou}\quad x=\pi-\frac\pi4+2k\pi=\frac{3\pi}4+2k\pi.

4. Restriction à [0,2π[[0,2\pi[. Première famille : 0≤π4+2kπ<2π  ⟺  −18≤k<780\le\frac\pi4+2k\pi<2\pi\iff-\frac18\le k<\frac78, seul k=0k=0, x=π4x=\frac\pi4. Deuxième famille : 0≤3π4+2kπ<2π  ⟺  −38≤k<580\le\frac{3\pi}4+2k\pi<2\pi\iff-\frac38\le k<\frac58, seul k=0k=0, x=3π4x=\frac{3\pi}4.

5. Conclusion. sin⁡π4=sin⁡3π4=22\sin\frac\pi4=\sin\frac{3\pi}4=\frac{\sqrt2}2, d'où S={π4,3π4}\boxed{S=\left\{\frac\pi4,\frac{3\pi}4\right\}}. ■\blacksquare

Loi des sinus

Exercice 2

Dans un triangle ABCABC, a=BC=6a=BC=6, A^=30∘\widehat A=30^{\circ} et B^=45∘\widehat B=45^{\circ}. Calculer b=ACb=AC et le rayon RR du cercle circonscrit.

Voir la correction

1. Données. aa est opposé à A^\widehat A, bb à B^\widehat B, et 30∘+45∘=75∘<180∘30^\circ+45^\circ=75^\circ<180^\circ : triangle possible. La loi des sinus donne asin⁡A^=bsin⁡B^=2R\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=2R.

2. Côté bb. 6sin⁡30∘=bsin⁡45∘\frac{6}{\sin30^\circ}=\frac{b}{\sin45^\circ}, donc b=6sin⁡45∘sin⁡30∘=6×2212=62,b=AC=62.b=\frac{6\sin45^\circ}{\sin30^\circ}=\frac{6\times\frac{\sqrt2}2}{\frac12}=6\sqrt2,\qquad\boxed{b=AC=6\sqrt2}.

3. Rayon RR. 2R=6sin⁡30∘=612=122R=\frac{6}{\sin30^\circ}=\frac{6}{\frac12}=12, donc R=6\boxed{R=6}.

4. Contrôle. B^>A^\widehat B>\widehat A impose b>ab>a : 62>66\sqrt2>6 ✓. Et bsin⁡45∘=6222=12=2R\frac{b}{\sin45^\circ}=\frac{6\sqrt2}{\frac{\sqrt2}2}=12=2R. ■\blacksquare

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