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Tronc Commun · Sciences · Chapitre 9

Calcul trigonométrique (1)

La trigonométrie associe à chaque angle des nombres qui permettent de décrire une direction et une position sur un cercle. Ce premier volet installe tout le vocabulaire : l'orientation du plan (sens direct/indirect), le cercle trigonométrique de rayon 1, et le radian — l'unité naturelle des angles, reliée aux degrés par la seule correspondance à retenir, 180° ↔ π. On apprend à repérer un point par son abscisse curviligne, définie modulo 2π (x + 2kπ), et à en extraire l'abscisse principale dans ]−π, π]. Viennent ensuite les angles orientés de demi-droites puis de vecteurs, avec la relation de Chasles qui permet d'additionner les angles. Le cœur du chapitre définit cos x et sin x comme les coordonnées du point associé à x, la tangente comme leur quotient, et pose les deux identités clés : cos²x + sin²x = 1 et 1 + tan²x = 1/cos²x. On termine par la lecture des signes selon le quadrant, les valeurs exactes des angles remarquables (0, π/6, π/4, π/3, π/2) et les formules des angles associés, toutes retrouvables par symétrie sur le cercle plutôt que par cœur.

1 · Résumé du cours

La trigonométrie associe à tout angle des nombres qui décrivent une direction et une position sur un cercle. Ce chapitre introduit le radian, le cercle trigonométrique, les angles orientés, puis les fonctions cos⁡\cos, sin⁡\sin et tan⁡\tan. Les équations et inéquations trigonométriques viendront dans la deuxième partie.

1.1 Orientation du plan et cercle trigonométrique

Définition — sens direct et sens indirect Autour d'un cercle, on distingue deux sens de parcours :
  • le sens direct (positif) est le sens contraire des aiguilles d'une montre ;
  • le sens indirect (négatif) est celui des aiguilles d'une montre.
Un plan muni de ce choix est un plan orienté.
Définition — cercle trigonométrique C'est le cercle de centre OO, de rayon 11, muni d'une origine II et orienté dans le sens direct. Dans un repère orthonormé direct (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), on pose OI→=ı⃗\overrightarrow{OI}=\vec\imath et OJ→=ȷ⃗\overrightarrow{OJ}=\vec\jmath ; les opposés de II et JJ sont I′I' et J′J'.
Propriété — quatre points de référence PointIJI′J′Mesure principale0π2π−π2Coordonneˊes(1,0)(0,1)(−1,0)(0,−1)\begin{array}{c|cccc}\text{Point}&I&J&I'&J'\\\hline \text{Mesure principale}&0&\frac\pi2&\pi&-\frac\pi2\\ \text{Coordonnées}&(1,0)&(0,1)&(-1,0)&(0,-1)\end{array}

1.2 Degrés, radians et grades

Définition — le radian Sur un cercle de rayon 11, un angle au centre mesure un radian lorsqu'il intercepte un arc de longueur 11. Plus généralement, un angle de mesure θ\theta radians intercepte sur un cercle de rayon RR un arc de longueur ℓ=R ∣θ∣.\ell=R\,|\theta|. Sur le cercle trigonométrique, la mesure en radians coïncide donc, au signe près, avec la longueur de l'arc.
Propriété — conversion des unités Un tour complet vaut 360∘=2π rad=400 gr360^{\circ}=2\pi\ \text{rad}=400\ \text{gr}, d'où d180=rπ=g200,\boxed{\dfrac{d}{180}=\dfrac{r}{\pi}=\dfrac{g}{200}}, où d,r,gd,r,g sont les mesures d'un même angle en degrés, radians et grades. degreˊs030456090180360radians0π6π4π3π2π2πgrades01003502003100200400\begin{array}{c|ccccccc}\text{degrés}&0&30&45&60&90&180&360\\\hline \text{radians}&0&\frac\pi6&\frac\pi4&\frac\pi3&\frac\pi2&\pi&2\pi\\ \text{grades}&0&\frac{100}3&50&\frac{200}3&100&200&400\end{array}
Méthode — effectuer une conversion Degrés → radians : multiplier par π180\frac{\pi}{180}. Radians → degrés : par 180π\frac{180}{\pi}. Degrés → grades : par 200180\frac{200}{180}. Grades → degrés : par 180200\frac{180}{200}. On simplifie toujours la fraction obtenue.

Exemple. 210∘=210×π180=7π6 rad210^{\circ}=210\times\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{6}\ \text{rad} et 3π5 rad=3π5×180π=108∘\frac{3\pi}{5}\ \text{rad}=\frac{3\pi}{5}\times\frac{180}{\pi}=108^{\circ}.

Le repère à retenir La correspondance 180∘⟷π180^{\circ}\longleftrightarrow\pi suffit à retrouver toutes les conversions : 90∘90^{\circ} est la moitié de 180∘180^{\circ}, donc π2\frac\pi2 rad.

1.3 Abscisses curvilignes d'un point

Définition À tout réel xx on associe un unique point MM du cercle : on part de II et on parcourt une longueur ∣x∣|x|, dans le sens direct si x>0x>0, indirect si x<0x<0. Le réel xx est une abscisse curviligne de MM.
Propriété — toutes les abscisses d'un point Deux réels xx et x′x' repèrent le même point si, et seulement si, x′−x=2kπ (k∈Z)x'-x=2k\pi\ (k\in\mathbb{Z}). Toutes les abscisses de MM sont donc x+2kπ(k∈Z),\boxed{x+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})}, ce qu'on écrit x′≡x [2π]x'\equiv x\ [2\pi].
Définition — abscisse principale Parmi toutes les abscisses de MM, une seule appartient à ]−π,π]]-\pi,\pi] : c'est l'abscisse curviligne principale de MM.
Méthode — déterminer l'abscisse principale Chercher k∈Zk\in\mathbb{Z} tel que −π<x+2kπ≤π-\pi<x+2k\pi\le\pi : en pratique, ajouter ou retrancher des tours 2π2\pi jusqu'à tomber dans ]−π,π]]-\pi,\pi].

Exemple. 29π6−4π=5π6∈  ]−π,π]\frac{29\pi}{6}-4\pi=\frac{5\pi}{6}\in\;]-\pi,\pi] : l'abscisse principale de 29π6\frac{29\pi}{6} est 5π6\frac{5\pi}{6}. De même −17π4+4π=−π4-\frac{17\pi}{4}+4\pi=-\frac{\pi}{4}.

1.4 Angles orientés de deux demi-droites

Définition Pour deux demi-droites [OA)[OA) et [OB)[OB) de même origine, le couple ordonné définit l'angle orienté (OA→,OB→)(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}) de la première vers la seconde. L'ordre est essentiel : l'inverser inverse le sens.
Propriété — mesures d'un angle orienté Si α,β\alpha,\beta sont des abscisses des points où les demi-droites coupent le cercle, toutes les mesures sont β−α+2kπ(k∈Z),(OA→,OB→)≡β−α [2π].\boxed{\beta-\alpha+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})},\qquad (\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\equiv\beta-\alpha\ [2\pi]. L'unique valeur dans ]−π,π]]-\pi,\pi] est la mesure principale.
Propriété — angles particuliers (modulo 2π2\pi) AngleMesurenul0platπdroit directπ2droit indirect−π2\begin{array}{c|c}\text{Angle}&\text{Mesure}\\\hline \text{nul}&0\\ \text{plat}&\pi\\ \text{droit direct}&\frac\pi2\\ \text{droit indirect}&-\frac\pi2\end{array}

Exemple. 15π4−4π=−π4\frac{15\pi}{4}-4\pi=-\frac\pi4, donc 15π4≡−π4 [2π]\frac{15\pi}{4}\equiv-\frac\pi4\ [2\pi].

1.5 Angles orientés de deux vecteurs

Définition Pour deux vecteurs non nuls u⃗,v⃗\vec u,\vec v, on choisit A,BA,B tels que OA→\overrightarrow{OA} ait la direction et le sens de u⃗\vec u, et OB→\overrightarrow{OB} ceux de v⃗\vec v ; alors (u⃗,v⃗)=(OA→,OB→) [2π](\vec u,\vec v)=(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})\ [2\pi].
Propriété — règles de calcul (u⃗,u⃗)≡0,(u⃗,−u⃗)≡π,(v⃗,u⃗)≡−(u⃗,v⃗) [2π],(\vec u,\vec u)\equiv0,\quad(\vec u,-\vec u)\equiv\pi,\quad(\vec v,\vec u)\equiv-(\vec u,\vec v)\ [2\pi], et la relation de Chasles : (u⃗,v⃗)+(v⃗,w⃗)≡(u⃗,w⃗) [2π].\boxed{(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\equiv(\vec u,\vec w)\ [2\pi]}.
Propriété — multiplication des vecteurs Pour λ,μ∈R∗\lambda,\mu\in\mathbb{R}^* : si λμ>0\lambda\mu>0, (λu⃗,μv⃗)≡(u⃗,v⃗)(\lambda\vec u,\mu\vec v)\equiv(\vec u,\vec v) ; si λμ<0\lambda\mu<0, (λu⃗,μv⃗)≡(u⃗,v⃗)+π [2π](\lambda\vec u,\mu\vec v)\equiv(\vec u,\vec v)+\pi\ [2\pi]. Multiplier un seul vecteur par un négatif inverse sa direction.
Méthode — calculer avec Chasles Pour (u⃗,w⃗)(\vec u,\vec w), introduire une direction intermédiaire v⃗\vec v connue : (u⃗,w⃗)≡(u⃗,v⃗)+(v⃗,w⃗) [2π](\vec u,\vec w)\equiv(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\ [2\pi], puis réduire modulo 2π2\pi.

1.6 Cosinus, sinus et tangente d'un réel

Définition Soit MM le point d'abscisse curviligne xx. Dans (O;ı⃗,ȷ⃗)(O;\vec\imath,\vec\jmath), M(cos⁡x,sin⁡x) :\boxed{M(\cos x,\sin x)}\,: le cosinus est l'abscisse de MM, le sinus son ordonnée. Lorsque cos⁡x≠0\cos x\ne0, la tangente est tan⁡x=sin⁡xcos⁡x.\boxed{\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}}.
Propriété — domaine de la tangente La tangente n'existe pas quand cos⁡x=0\cos x=0, c'est-à-dire x=π2+kπ (k∈Z)x=\frac\pi2+k\pi\ (k\in\mathbb{Z}) : Dtan⁡=R∖{π2+kπ  ;  k∈Z}.D_{\tan}=\mathbb{R}\setminus\left\{\tfrac\pi2+k\pi\;;\;k\in\mathbb{Z}\right\}.

1.7 Relations fondamentales et périodicité

Propriété — relations fondamentales Pour tout xx : −1≤cos⁡x≤1-1\le\cos x\le1, −1≤sin⁡x≤1-1\le\sin x\le1, et cos⁡2x+sin⁡2x=1.\boxed{\cos^2x+\sin^2x=1}. Lorsque tan⁡x\tan x existe, 1+tan⁡2x=1cos⁡2x.\boxed{1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}}.
Propriété — périodicité Pour tout k∈Zk\in\mathbb{Z} : cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x, sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x (période 2π2\pi), et tan⁡(x+kπ)=tan⁡x\tan(x+k\pi)=\tan x (période π\pi).
Méthode — retrouver une ligne trigonométrique Si sin⁡x\sin x est connu : cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x, donc cos⁡x=±1−sin⁡2x\cos x=\pm\sqrt{1-\sin^2x}. Le signe ne se choisit jamais au hasard : il dépend du quadrant de xx. Puis tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} si cos⁡x≠0\cos x\ne0.

1.8 Quadrants et signes

Définition Les axes découpent le cercle en quatre quadrants, numérotés dans le sens direct : QuadrantMesures dans ]0,2π[I]0,π2[II]π2,π[III]π,3π2[IV]3π2,2π[\begin{array}{c|c}\text{Quadrant}&\text{Mesures dans }]0,2\pi[\\\hline \mathrm{I}&]0,\frac\pi2[\\ \mathrm{II}&]\frac\pi2,\pi[\\ \mathrm{III}&]\pi,\frac{3\pi}2[\\ \mathrm{IV}&]\frac{3\pi}2,2\pi[\end{array}
Propriété — signe des lignes trigonométriques IIIIIIIVcos⁡x+−−+sin⁡x++−−tan⁡x+−+−\begin{array}{c|cccc}&\mathrm{I}&\mathrm{II}&\mathrm{III}&\mathrm{IV}\\\hline \cos x&+&-&-&+\\ \sin x&+&+&-&-\\ \tan x&+&-&+&-\end{array}
Lire les signes sur les coordonnées Le cosinus (abscisse) est positif à droite de l'axe des ordonnées, négatif à gauche. Le sinus (ordonnée) est positif au-dessus de l'axe des abscisses, négatif en dessous. La tangente est positive quand sinus et cosinus ont le même signe.

1.9 Angles remarquables

Propriété — valeurs exactes x0π6π4π3π2πcos⁡x13222120−1sin⁡x012223210tan⁡x03313n.d.0\begin{array}{c|cccccc}x&0&\frac\pi6&\frac\pi4&\frac\pi3&\frac\pi2&\pi\\\hline \cos x&1&\frac{\sqrt3}2&\frac{\sqrt2}2&\frac12&0&-1\\ \sin x&0&\frac12&\frac{\sqrt2}2&\frac{\sqrt3}2&1&0\\ \tan x&0&\frac{\sqrt3}3&1&\sqrt3&\text{n.d.}&0\end{array}
Retrouver sinus et cosinus Pour 0,π6,π4,π3,π20,\frac\pi6,\frac\pi4,\frac\pi3,\frac\pi2, les sinus valent 02,12,22,32,42\frac{\sqrt0}2,\frac{\sqrt1}2,\frac{\sqrt2}2,\frac{\sqrt3}2,\frac{\sqrt4}2. Les cosinus donnent la même liste dans l'ordre inverse, et la tangente est leur quotient.

1.10 Angles associés

Propriété — angle opposé cos⁡(−x)=cos⁡x,sin⁡(−x)=−sin⁡x,tan⁡(−x)=−tan⁡x.\cos(-x)=\cos x,\quad\sin(-x)=-\sin x,\quad\tan(-x)=-\tan x. Le cosinus est pair ; le sinus et la tangente sont impairs.
Propriété — supplémentaires et décalés de π\pi cos⁡sin⁡tan⁡π−x−cos⁡xsin⁡x−tan⁡xπ+x−cos⁡x−sin⁡xtan⁡x\begin{array}{c|ccc}&\cos&\sin&\tan\\\hline \pi-x&-\cos x&\sin x&-\tan x\\ \pi+x&-\cos x&-\sin x&\tan x\end{array} Les égalités en tangente ne valent que là où les deux membres existent.
Propriété — angles complémentaires cos⁡sin⁡π2−xsin⁡xcos⁡xπ2+x−sin⁡xcos⁡x\begin{array}{c|cc}&\cos&\sin\\\hline \frac\pi2-x&\sin x&\cos x\\ \frac\pi2+x&-\sin x&\cos x\end{array} et tan⁡(π2−x)=1tan⁡x\tan(\frac\pi2-x)=\frac1{\tan x}, tan⁡(π2+x)=−1tan⁡x\tan(\frac\pi2+x)=-\frac1{\tan x} quand elles existent.
Propriété — retour à un tour complet cos⁡(2π−x)=cos⁡x,sin⁡(2π−x)=−sin⁡x,tan⁡(2π−x)=−tan⁡x.\cos(2\pi-x)=\cos x,\quad\sin(2\pi-x)=-\sin x,\quad\tan(2\pi-x)=-\tan x.
Comprendre au lieu de réciter Ces formules se lisent par symétrie sur le cercle : −x-x → axe des abscisses ; π−x\pi-x → axe des ordonnées ; π+x\pi+x → centre OO ; π2−x\frac\pi2-x → échange des coordonnées.

1.11 Réduire un angle et calculer une valeur exacte

Méthode — angle de référence
  1. réduire xx modulo 2π2\pi (cos, sin) ou modulo π\pi (tan) ;
  2. placer l'angle obtenu dans son quadrant ;
  3. déterminer l'angle remarquable de référence ;
  4. choisir les signes grâce au quadrant ;
  5. appliquer une formule d'angle associé.

Exemple. cos⁡13π6=cos⁡π6=32\cos\frac{13\pi}{6}=\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}2 ; sin⁡(−5π3)=sin⁡π3=32\sin(-\frac{5\pi}{3})=\sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}2 ; tan⁡5π4=tan⁡π4=1\tan\frac{5\pi}{4}=\tan\frac\pi4=1.

L'essentiel du chapitre
  • 180∘⟷π180^{\circ}\longleftrightarrow\pi rad donne toutes les conversions.
  • Un même point a les abscisses x+2kπx+2k\pi ; son abscisse principale est dans ]−π,π]]-\pi,\pi].
  • Une mesure d'angle orienté est définie modulo 2π2\pi ; Chasles additionne les angles.
  • Le point associé à xx a pour coordonnées (cos⁡x,sin⁡x)(\cos x,\sin x).
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1, mais le quadrant décide du signe de la racine.
  • La tangente existe pour x≠π2+kπx\ne\frac\pi2+k\pi et vaut sin⁡xcos⁡x\frac{\sin x}{\cos x}.
  • Les angles associés se retrouvent par les symétries du cercle.

2 · Exercices résolus

Conversions

Exercice 1

Convertir 135∘135^{\circ} en radians, et 5π6\dfrac{5\pi}{6} en degrés.

Voir la correction

1. 135∘135^{\circ} en radians. On multiplie par π180\frac{\pi}{180} : 135∘=135×π180=135π180=3π4 rad,135^{\circ}=135\times\frac{\pi}{180}=\frac{135\pi}{180}=\frac{3\pi}{4}\ \text{rad}, car 135135 et 180180 sont divisibles par 4545. Contrôle : 135∘135^{\circ} est les trois quarts de 180∘180^{\circ}, donc 34π\frac34\pi.

2. 5π6\frac{5\pi}{6} en degrés. On multiplie par 180π\frac{180}{\pi} : 5π6×180π=5×1806=5×30=150∘.\frac{5\pi}{6}\times\frac{180}{\pi}=\frac{5\times180}{6}=5\times30=150^{\circ}. Contrôle : 5π6<π\frac{5\pi}{6}<\pi, donc l'angle est <180∘<180^{\circ} ; 150∘150^{\circ} est cohérent. ■\blacksquare

Identité fondamentale

Exercice 2

Sachant que sin⁡x=35\sin x=\dfrac35 et x∈]π2,π[x\in\left]\dfrac\pi2,\pi\right[, calculer cos⁡x\cos x et tan⁡x\tan x.

Voir la correction

1. Quadrant et signes. ]π2,π[\left]\frac\pi2,\pi\right[ est le deuxième quadrant : sin⁡x>0\sin x>0, cos⁡x<0\cos x<0, tan⁡x<0\tan x<0. Ce signe fixera celui de cos⁡x\cos x.

2. Calcul de cos⁡x\cos x. cos⁡2x=1−sin⁡2x=1−925=1625,cos⁡x=±45.\cos^2x=1-\sin^2x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25},\qquad\cos x=\pm\frac45. Le deuxième quadrant impose cos⁡x<0\cos x<0, donc cos⁡x=−45\boxed{\cos x=-\dfrac45}.

3. Calcul de tan⁡x\tan x. Comme cos⁡x≠0\cos x\ne0, tan⁡x=sin⁡xcos⁡x=35−45=35×(−54)=−34,tan⁡x=−34.\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac35}{-\frac45}=\frac35\times\left(-\frac54\right)=-\frac34,\qquad\boxed{\tan x=-\frac34}.

4. Vérifications. (−45)2+(35)2=1625+925=1\left(-\frac45\right)^2+\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}+\frac{9}{25}=1, et tan⁡x<0\tan x<0 est bien le signe du deuxième quadrant. ■\blacksquare

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