Tronc Commun · Sciences · Chapitre 8

Équations, inéquations et systèmes

Résoudre une équation, c'est trouver toutes les valeurs qui rendent une égalité vraie ; résoudre une inéquation, toutes celles qui satisfont une comparaison. Ce chapitre progresse méthodiquement du premier degré au second, puis aux systèmes. On revoit les équations ax + b = 0 (et leurs cas limites), les équations produit et quotient via la règle « un produit est nul si l'un des facteurs l'est », puis les inéquations, où le piège central est de retenir que diviser par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité. Le tableau de signes devient l'outil universel pour les inéquations produit ou quotient. Vient ensuite le second degré : forme canonique a(x − α)² + β, discriminant Δ = b² − 4ac qui décide du nombre de racines réelles, factorisation a(x − x₁)(x − x₂), relations somme–produit x₁ + x₂ = −b/a et x₁x₂ = c/a, et signe du trinôme (du signe de a à l'extérieur des racines). Enfin, les systèmes de deux équations à deux inconnues, résolus par substitution, combinaison linéaire ou déterminants de Cramer (D = ab′ − a′b), avec leur lecture géométrique en termes de droites sécantes, parallèles ou confondues.

1 · Résumé du cours

Une équation traduit une égalité dont certaines valeurs sont inconnues ; une inéquation traduit une comparaison. Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs qui la rendent vraie. On progresse du premier degré vers le second degré, puis vers les systèmes de deux équations à deux inconnues.

1.1 Équations : vocabulaire et transformations

Définition — solution et ensemble des solutions Une solution est une valeur de

x

pour laquelle l'égalité est vraie ; l'ensemble de toutes les solutions est noté

S

. Deux équations sont équivalentes (

\iff

) lorsqu'elles ont exactement le même ensemble de solutions.

Propriété — transformations équivalentes On ne change pas les solutions en ajoutant/soustrayant une même expression aux deux membres, en multipliant/divisant par un même nombre non nul, ou en développant/réduisant/factorisant. Pour

C\ne0

A=B\iff A+C=B+C,\qquad A=B\iff AC=BC.

Équivalence ou simple implication ? Multiplier par une expression qui dépend de

x

peut ajouter une solution étrangère lorsque cette expression s'annule. Avant de supprimer un dénominateur, écrire toujours les valeurs interdites.

1.2 Équations du premier degré à une inconnue

Définition Une équation du premier degré est de la forme

ax+b=0

avec

a\ne0

. Elle possède l'unique solution

\boxed{x=-\dfrac ba}

Propriété — cas particuliers de

ax+b=0

\begin{array}{c|c|c}\text{Condition}&\text{Équation}&S\\\hline a\ne0&ax+b=0&\left\{-\frac ba\right\}\\ a=0,\ b\ne0&b=0&\varnothing\\ a=0,\ b=0&0=0&\mathbb{R}\end{array}

La 2ᵉ ligne est une égalité impossible, la 3ᵉ une identité vraie pour tout réel.

Méthode (1) développer et supprimer les parenthèses ; (2) regrouper les termes en

x

d'un côté, les constantes de l'autre ; (3) réduire à

ax=b

; (4) diviser par

a\ (\ne0)

et vérifier.

Exemple. $3(2x-1)-5=4x+6\iff6x-8=4x+6\iff2x=14\iff x=7$ . Vérification : $34=34$ , donc $S=\{7\}$ .

1.3 Équations produit, quotient et carré

Propriété — produit nul

A(x)B(x)=0\iff A(x)=0\ \text{ou}\ B(x)=0.

La propriété s'étend à plus de deux facteurs.

Exemple. $(2x-3)(x+4)=0\iff x=\dfrac32\ \text{ou}\ x=-4$ , donc $S=\left\{-4,\dfrac32\right\}$ .

Propriété — quotient nul Pour

\dfrac{A(x)}{B(x)}=0

, on impose

B(x)\ne0

, puis

\frac{A(x)}{B(x)}=0\iff\begin{cases}A(x)=0,\\B(x)\ne0.\end{cases}

Exemple. $\dfrac{(x-2)(x+1)}{x-2}=0$ : $2$ est interdite ; pour $x\ne2$ , le numérateur s'annule en $2$ ou $-1$ . $2$ étant interdite, $S=\{-1\}$ .

Propriété — équation

x^2=k

\begin{array}{c|c}k<0&S=\varnothing\\ k=0&S=\{0\}\\ k>0&S=\{-\sqrt k,\sqrt k\}\end{array}

En particulier

u(x)^2=k\ (k>0)\iff u(x)=\sqrt k\ \text{ou}\ u(x)=-\sqrt k

1.4 Inéquations du premier degré

Définition Une inéquation du premier degré se ramène à

ax+b>0

(ou

\ge0

<0

\le0

) avec

a\ne0

. Résoudre, c'est déterminer l'ensemble des réels qui vérifient la comparaison.

Propriété — opérations sur les inégalités Ajouter/soustraire un même nombre conserve le sens. Multiplier/diviser par un nombre strictement positif conserve le sens ; par un nombre strictement négatif inverse le sens. Ex. :

-3x\le12\iff x\ge-4

Méthode — résoudre puis écrire un intervalle Ramener à

ax<b

(etc.), isoler

x

en surveillant le signe du diviseur, puis traduire :

\begin{array}{c|c}x<a&]-\infty,a[\\ x\le a&]-\infty,a]\\ x>a&]a,+\infty[\\ x\ge a&[a,+\infty[\end{array}

Exemple. $5-2x<11\iff-2x<6\iff x>-3$ (le sens s'inverse en divisant par $-2$ ), donc $S=\;]-3,+\infty[$ .

1.5 Signe d'une expression affine

Propriété — signe de

ax+b

Avec

a\ne0

x_0=-\dfrac ba

ax+b

est du signe contraire de $a$ avant sa racine, puis du signe de $a$ après.

\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&x_0&+\infty\\\hline ax+b\ (a>0)&-&0&+\\ ax+b\ (a<0)&+&0&-\end{array}

Exemple. $-2x+6$ s'annule en $3$ et son coefficient est négatif : positif sur $]-\infty,3[$ , nul en $3$ , négatif sur $]3,+\infty[$ .

1.6 Inéquations produit et quotient

Méthode — construire un tableau de signes (1) ramener tout dans un membre pour comparer à

0

; (2) factoriser ; (3) trouver les zéros des facteurs et, pour un quotient, les valeurs interdites ; (4) les ranger par ordre croissant ; (5) inscrire le signe de chaque facteur puis du produit/quotient ; (6) sélectionner les intervalles cherchés. Une racine du numérateur est incluse pour

\le

\ge

; une valeur interdite ne l'est jamais.

Exemple (produit). $(2x-3)(x+1)\le0$ , racines $-1$ et $\dfrac32$ : $\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&-1&&\frac32&+\infty\\\hline x+1&-&0&+&+&+\\ 2x-3&-&-&-&0&+\\\hline (2x-3)(x+1)&+&0&-&0&+\end{array}$ Le produit est $\le0$ entre les racines : $S=\left[-1,\dfrac32\right]$ .

Exemple (quotient). $\dfrac{x-2}{x+3}>0$ , domaine $\mathbb{R}\setminus\{-3\}$ : $\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&-3&&2&+\infty\\\hline x-2&-&-&-&0&+\\ x+3&-&0&+&+&+\\\hline \frac{x-2}{x+3}&+&\|&-&0&+\end{array}$ Inégalité stricte : $S=\;]-\infty,-3[\,\cup\,]2,+\infty[$ .

1.7 Trinôme du second degré et forme canonique

Définition Un trinôme du second degré est

P(x)=ax^2+bx+c

avec

a\ne0

. Une solution de

P(x)=0

est une racine.

Propriété — forme canonique Avec

\Delta=b^2-4ac

\alpha=-\dfrac b{2a}

\beta=-\dfrac\Delta{4a}

\boxed{ax^2+bx+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac\Delta{4a^2}\right]=a(x-\alpha)^2+\beta.}

Exemple. Pour $P(x)=2x^2-4x-6$ : $a=2,\ \alpha=1,\ \Delta=64,\ \beta=-8$ , donc $P(x)=2(x-1)^2-8$ .

1.8 Équations du second degré

Théorème — rôle du discriminant Pour

ax^2+bx+c=0\ (a\ne0)

\Delta=b^2-4ac

$\Delta<0$ : aucune solution réelle, $S=\varnothing$ ;
$\Delta=0$ : racine double $x_0=-\dfrac b{2a}$ , $S=\{x_0\}$ ;
$\Delta>0$ : deux racines $x_1=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}$ , $x_2=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}$ .

Méthode — sans oublier un cas (1) écrire

ax^2+bx+c=0

et relever

a,b,c

avec leurs signes ; (2) calculer

\Delta

; (3) comparer à

0

et appliquer la formule du cas correspondant ; (4) simplifier et annoncer

S

; (5) vérifier par somme–produit.

Exemple. $2x^2-5x-3=0$ : $\Delta=25+24=49>0$ , d'où $x_1=\dfrac{5-7}4=-\dfrac12$ et $x_2=\dfrac{5+7}4=3$ , donc $S=\left\{-\dfrac12,3\right\}$ .

Discriminant réduit Si

b=2b'

est pair, on calcule

\Delta'=b'^2-ac

x=\dfrac{-b'\pm\sqrt{\Delta'}}{a}

: mêmes solutions, calculs plus courts.

1.9 Factorisation, somme et produit des racines

Propriété — factorisation du trinôme

$\Delta>0$ : $P(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ ;
$\Delta=0$ : $P(x)=a(x-x_0)^2$ ;
$\Delta<0$ : pas de factorisation en facteurs du premier degré dans $\mathbb{R}$ .

Propriété — somme et produit Si

x_1,x_2

sont les racines de

ax^2+bx+c=0

\boxed{x_1+x_2=-\frac ba}\qquad\text{et}\qquad\boxed{x_1x_2=\frac ca}.

Réciproquement, deux nombres de somme

s

et de produit

p

sont, lorsqu'ils existent, les solutions de

x^2-sx+p=0

Exemple. Pour $x^2-7x+12=0$ , deux nombres de somme $7$ et produit $12$ : $3$ et $4$ . Donc $x^2-7x+12=(x-3)(x-4)$ et $S=\{3,4\}$ .

Une vérification très rapide Après un calcul par discriminant, contrôler

x_1+x_2=-\dfrac ba

x_1x_2=\dfrac ca

repère aussitôt les erreurs de signe.

1.10 Signe d'un trinôme et inéquations du second degré

Théorème — signe de

ax^2+bx+c

$\Delta<0$ : $P(x)$ toujours du signe de $a$ ;
$\Delta=0$ : du signe de $a$ , sauf en $x_0=-\dfrac b{2a}$ où il est nul ;
$\Delta>0$ ( $x_1<x_2$ ) : du signe de $a$ à l'extérieur de $[x_1,x_2]$ , du signe opposé entre les racines.

\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&x_1&&x_2&+\infty\\\hline P(x)&\operatorname{signe}(a)&0&-\operatorname{signe}(a)&0&\operatorname{signe}(a)\end{array}

Méthode — inéquation du second degré (1) ramener tout dans un membre ; (2) calculer

\Delta

et les racines ; (3) dresser le tableau de signes selon le signe de

a

; (4) lire les intervalles (racines incluses pour

\le

\ge

, exclues pour

<

>

Exemple. $-x^2+x+6\ge0$ : $-x^2+x+6=-(x-3)(x+2)$ , racines $-2$ et $3$ , $a=-1<0$ donc positif entre les racines : $S=[-2,3]$ .

1.11 Systèmes de deux équations à deux inconnues

Définition Un système du premier degré à deux inconnues s'écrit

(\mathcal S):\begin{cases}ax+by=c,\\a'x+b'y=c'.\end{cases}

Une solution est un couple

(x,y)\in\mathbb{R}^2

vérifiant les deux équations simultanément.

Propriété — interprétation graphique Chaque équation représente une droite :

\begin{array}{c|c|c}\text{Droites}&\text{Nb. solutions}&S\\\hline \text{sécantes}&1&\{(x_0,y_0)\}\\ \text{strict. parallèles}&0&\varnothing\\ \text{confondues}&\infty&\text{toute la droite}\end{array}

1.11.1 Méthode de substitution

Méthode — substitution (1) isoler une inconnue là où son coefficient est le plus simple ; (2) la remplacer dans l'autre équation ; (3) résoudre l'équation à une inconnue ; (4) revenir à l'expression isolée ; (5) vérifier le couple.

Exemple. $\begin{cases}x+2y=3\\2x+3y=4\end{cases}$ : $x=3-2y$ , d'où $2(3-2y)+3y=4\iff6-y=4\iff y=2$ , puis $x=-1$ . $S=\{(-1,2)\}$ .

1.11.2 Méthode de combinaison linéaire

Méthode — élimination par addition Multiplier les équations par des nombres convenables pour obtenir des coefficients opposés devant une inconnue, puis additionner membre à membre : cette inconnue disparaît.

Exemple. $\begin{cases}2x+3y=7\\3x-2y=4\end{cases}$ $\to$ $\begin{cases}4x+6y=14\\9x-6y=12\end{cases}$ : en additionnant $13x=26$ , $x=2$ , puis $y=1$ . $S=\{(2,1)\}$ .

1.11.3 Méthode des déterminants (Cramer)

Propriété — déterminants de Cramer Avec

D=ab'-a'b

D_x=cb'-c'b

D_y=ac'-a'c

: si

D\ne0

, solution unique

\boxed{x=\frac{D_x}{D}}\qquad\text{et}\qquad\boxed{y=\frac{D_y}{D}}.

D=0

, pas de solution unique : après simplification, droites parallèles distinctes ou confondues.

Choisir la méthode la plus courte

Un coefficient $1$ ou $-1$ favorise la substitution.
Des coefficients déjà égaux ou opposés favorisent la combinaison.
Les déterminants donnent vite le nombre de solutions et la solution unique si $D\ne0$ .

1.12 Mettre un problème en système

Méthode — modéliser puis contrôler (1) choisir les inconnues et préciser ce qu'elles représentent ; (2) traduire chaque information par une équation ; (3) résoudre le système ; (4) vérifier le couple et sa cohérence (positivité, entiers, unités…).

Exemple. Un club vend $32$ billets (adulte $30$ DH, élève $20$ DH) pour une recette de $760$ DH. Avec $a$ adultes et $e$ élèves : $\begin{cases}a+e=32\\30a+20e=760\end{cases}$ . En substituant $e=32-a$ : $10a=120$ , $a=12$ , $e=20$ . Contrôle : $12+20=32$ et $360+400=760$ .

L'essentiel du chapitre

Avant tout quotient, écrire les valeurs interdites.
Dans une inéquation, diviser par un négatif inverse le sens.
Pour un produit/quotient, factoriser puis construire un tableau de signes.
Pour $ax^2+bx+c$ , le signe de $\Delta=b^2-4ac$ donne le nombre de racines réelles.
Un trinôme est du signe de $a$ à l'extérieur des racines, du signe opposé entre elles.
Dans un système, une solution est un couple ; toujours le contrôler à la fin.

2 · Exercices résolus

Second degré

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $x^2-5x+6=0$ , puis $x^2-5x+6\le0$ .

Voir la correction

1. Équation. Avec $a=1,\ b=-5,\ c=6$ : $\Delta=25-24=1>0$ . $x_1=\frac{5-1}2=2,\qquad x_2=\frac{5+1}2=3,\qquad\boxed{S_1=\{2,3\}}.$ Contrôle : $2+3=5=-\dfrac ba$ , $2\times3=6=\dfrac ca$ , et $P(x)=(x-2)(x-3)$ .

2. Inéquation. Comme $a=1>0$ , le trinôme est positif à l'extérieur des racines, négatif entre : $\begin{array}{c|ccccc}x&-\infty&2&&3&+\infty\\\hline P(x)&+&0&-&0&+\end{array}$ On cherche $P(x)\le0$ , bornes incluses (inégalité large) : $\boxed{S_2=[2,3]}$ . $\blacksquare$

Système 2×2

Exercice 2

Résoudre le système $\begin{cases}2x+3y=8\\x-y=-1\end{cases}$ .

Voir la correction

1. $a=2,\ b=3,\ a'=1,\ b'=-1$ , donc $D=ab'-a'b=-2-3=-5\ne0$ : solution unique.

2. Substitution. La 2ᵉ équation donne $x=y-1$ . En remplaçant : $2(y-1)+3y=8\iff5y=10\iff y=2,\qquad x=2-1=1.$

3. Vérification. $2(1)+3(2)=8$ et $1-2=-1$ . Donc $\boxed{S=\{(1,2)\}}$ : les deux droites sont sécantes en $(1,2)$ . $\blacksquare$

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