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Les équations, inéquations et systèmes rassemblent en Tronc Commun Sciences les techniques de résolution les plus utilisées de l'année. Cette fiche réunit le premier degré, la règle du produit nul, le second degré avec le discriminant Δ = b² − 4ac, la somme et le produit des racines, les tableaux de signes et les systèmes 2×2. Tout repose sur le signe de Δ : il décide du nombre de racines et de la factorisation du trinôme. Le réflexe indispensable avant tout quotient : écrire les valeurs interdites, qui ne seront jamais solutions.

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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Équations, inéquations & systèmes — 1ᵉʳ degré, 2ⁿᵈ degré, 2×2

Math Excellence
1 · Premier degré & produit nul
1ᵉʳ degré
ax+b=0⇒x=−baax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac ba
a≠0a\neq0
Produit nul
AB=0  ⟺  A=0 ou B=0AB=0\iff A=0\ \text{ou}\ B=0
factoriser d'abord
Quotient nul
AB=0  ⟺  A=0\dfrac AB=0\iff A=0 et B≠0B\neq0
valeur interdite B=0B=0
x2=kx^{2}=k
k>0:x=±kk>0:x=\pm\sqrt k
k=0:{0}k=0:\{0\} ; k<0:∅k<0:\varnothing
Inéquation 1ᵉʳ deg.
ax+b>0ax+b>0
isoler xx, surveiller le signe
Signe de ax+bax+b
−-signe(aa) puis signe(aa)
change en x0=−bax_0=-\dfrac ba
2 · Le second degré
Discriminant Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac
  • Δ<0\Delta<0 : S=∅S=\varnothing
  • Δ=0\Delta=0 : racine double x0=−b2ax_0=-\dfrac b{2a}
  • Δ>0\Delta>0 : x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}
Factorisation
  • Δ>0: a(x−x1)(x−x2)\Delta>0:\ a(x-x_1)(x-x_2)
  • Δ=0: a(x−x0)2\Delta=0:\ a(x-x_0)^{2}
  • Δ<0\Delta<0 : pas de factorisation dans R\mathbb{R}
Somme & produit
  • x1+x2=−bax_1+x_2=-\dfrac ba  ;  x1x2=cax_1x_2=\dfrac ca
  • somme ss, produit pp : racines de x2−sx+p=0x^{2}-sx+p=0
Vérif éclair : contrôler −ba-\tfrac ba et ca\tfrac ca après calcul.
Forme canonique
  • ax2+bx+c=a(x−α)2+βax^{2}+bx+c=a(x-\alpha)^{2}+\beta
  • α=−b2a\alpha=-\dfrac b{2a}, β=−Δ4a\beta=-\dfrac\Delta{4a} (sommet)
3 · Formules & réflexes
ax+b=0⇒x=−baax+b=0\Rightarrow x=-\dfrac ba
AB=0  ⟺  A=0AB=0\iff A=0 ou B=0B=0
Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac
x1,2=−b±Δ2ax_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a}
x1+x2=−ba, x1x2=cax_1+x_2=-\dfrac ba,\ x_1x_2=\dfrac ca
trinôme : signe de aa hors des racines
diviser par <0<0 : sens inversé
Cramer : x=DxD, y=DyDx=\dfrac{D_x}{D},\ y=\dfrac{D_y}{D}
4 · Tableaux de signes & systèmes 2×2
Inéquation produit / quotient
  • tout ramener ≤0\le0 / ≥0\ge0, factoriser
  • tableau de signes ; racine du numérateur incluse (large), valeur interdite jamais
Signe du trinôme
  • Δ<0\Delta<0 : signe de aa partout
  • Δ>0\Delta>0 : signe de aa à l'extérieur de [x1,x2][x_1,x_2], signe opposé entre
−x2+x+6≥0  ⟺  x∈[−2,3]-x^{2}+x+6\ge0\iff x\in[-2,3]
Systèmes 2×2
  • substitution : un coefficient ±1\pm1
  • combinaison : coefficients opposables
  • Cramer : D=ab′−a′bD=ab'-a'b, unique si D≠0D\neq0
Mettre en système
  • choisir les inconnues, traduire chaque info
  • résoudre puis contrôler (positivité, entiers, unités)
solution d'un système = un couple (x,y)(x,y)
★ Astuces géniales
  • Le signe de Δ\Delta décide de tout : nombre de racines, factorisation, allure du signe.
  • Réflexe inéquation : diviser par un négatif inverse le sens — l'erreur classique.
  • Avant tout quotient : écrire les valeurs interdites (elles ne sont jamais solution).
  • Un trinôme est du signe de aa à l'extérieur des racines — inutile de tout recalculer.
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