Aller au contenu principal
MathExcellence
← Toutes les fiches

La trigonométrie débute en Tronc Commun Sciences avec le radian, le cercle trigonométrique et les fonctions cos et sin. Cette fiche réunit la conversion degrés–radians (180° = π), les abscisses curvilignes x + 2kπ et la mesure principale, les angles orientés, l'identité cos²x + sin²x = 1, la tangente et les angles associés. Le cercle trigonométrique est la clé : il fabrique toutes les formules, cos sur l'axe des abscisses et sin sur celui des ordonnées. Le réflexe pour retrouver un signe : lire le quadrant sur le cercle plutôt que mémoriser chaque cas.

θ
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Trigonométrie (1) — Radian, cercle, cos & sin, angles associés

Math Excellence
1 · Radian & cercle trigonométrique
Radian
180∘=π rad180^\circ=\pi\ \text{rad}
αrad=αdeg⁡×π180\alpha_{\text{rad}}=\alpha_{\deg}\times\dfrac\pi{180}
Cercle trigonométrique
rayon 11, sens direct
MM d'abscisse curviligne xx
Abscisses curvilignes
x+2kπ, k∈Zx+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}
principale ∈ ]−π,π]\in\ ]-\pi,\pi]
Chasles (angles orientés)
(u⃗,w⃗)=(u⃗,v⃗)+(v⃗,w⃗) [2π](\vec u,\vec w)=(\vec u,\vec v)+(\vec v,\vec w)\ [2\pi]
à 2π2\pi près
Cos & sin
M(cos⁡x, sin⁡x)M(\cos x,\ \sin x)
coordonnées sur le cercle
Tangente
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}
x≠π2+kπx\neq\tfrac\pi2+k\pi
2 · Méthodes types
Convertir degrés ↔ radians
  • degrés → radians : ×π180\times\dfrac\pi{180}
  • radians → degrés : ×180π\times\dfrac{180}\pi
60∘=π360^\circ=\tfrac\pi3 ; 3π4=135∘\tfrac{3\pi}4=135^\circ
Mesure principale
  • ajouter / retrancher des 2π2\pi jusqu'à tomber dans ]−π,π]]-\pi,\pi]
  • toutes les mesures : x+2kπx+2k\pi
13π4=5π4−2π→\tfrac{13\pi}4=\tfrac{5\pi}4-2\pi\to principale −3π4-\tfrac{3\pi}4
Calculer cos connaissant sin (ou l'inverse)
  • cos⁡2x=1−sin⁡2x\cos^2x=1-\sin^2x, puis cos⁡x=±…\cos x=\pm\sqrt{\dots}
  • le quadrant de xx fixe le signe
Piège : ne jamais oublier le signe donné par le quadrant.
Angle de référence
  • se ramener à un angle de [0,π2][0,\tfrac\pi2] par les angles associés
  • appliquer les valeurs remarquables
cos⁡5π6=cos⁡(π−π6)=−32\cos\tfrac{5\pi}6=\cos(\pi-\tfrac\pi6)=-\tfrac{\sqrt3}2
3 · Formules & réflexes
180∘=π rad180^\circ=\pi\ \text{rad}
cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1
1+tan⁡2x=1cos⁡2x1+\tan^2x=\dfrac1{\cos^2x}
−1≤cos⁡x≤1, −1≤sin⁡x≤1-1\le\cos x\le1,\ -1\le\sin x\le1
cos⁡(x+2kπ)=cos⁡x\cos(x+2k\pi)=\cos x
sin⁡(x+2kπ)=sin⁡x\sin(x+2k\pi)=\sin x
tan⁡x=sin⁡xcos⁡x\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}, x≠π2+kπx\neq\tfrac\pi2+k\pi
cos⁡π6=32, cos⁡π4=22, cos⁡π3=12\cos\tfrac\pi6=\tfrac{\sqrt3}2,\ \cos\tfrac\pi4=\tfrac{\sqrt2}2,\ \cos\tfrac\pi3=\tfrac12
4 · Angles associés
Opposé −x-x
  • cos⁡(−x)=cos⁡x\cos(-x)=\cos x  (cosinus pair)
  • sin⁡(−x)=−sin⁡x\sin(-x)=-\sin x, tan⁡(−x)=−tan⁡x\tan(-x)=-\tan x (impairs)
Supplément π−x\pi-x & π+x\pi+x
  • cos⁡(π−x)=−cos⁡x\cos(\pi-x)=-\cos x, sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi-x)=\sin x
  • cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(\pi+x)=-\cos x, sin⁡(π+x)=−sin⁡x\sin(\pi+x)=-\sin x
Complément π2−x\tfrac\pi2-x
  • cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos(\tfrac\pi2-x)=\sin x
  • sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin(\tfrac\pi2-x)=\cos x
cos et sin s'échangent
π2+x\tfrac\pi2+x
  • cos⁡(π2+x)=−sin⁡x\cos(\tfrac\pi2+x)=-\sin x
  • sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin(\tfrac\pi2+x)=\cos x
★ Astuces géniales
  • Le cercle trigonométrique fabrique toutes les formules : lire cos⁡\cos sur l'axe des abscisses, sin⁡\sin sur celui des ordonnées.
  • cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2x+\sin^2x=1 donne l'un à partir de l'autre — le quadrant tranche le signe.
  • Les angles associés se retrouvent par symétries : inutile de tous les mémoriser, se rappeler du dessin.
  • Complément π2−x\tfrac\pi2-x : cos⁡\cos et sin⁡\sin s'échangent — la clé des identités.
Math Excellence · Travail — Méthode — Réussite · mathexce.com
Le cours completRevois le chapitre en détail — définitions, théorèmes et exemples résolusLire le coursQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM