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Ce second volet de trigonométrie apprend en Tronc Commun Sciences à résoudre les équations et les inéquations trigonométriques. Cette fiche réunit les équations de référence cos x = cos α, sin x = sin α et tan x = tan α, les équations algébriques par changement d'inconnue X = cos x, la restriction à un intervalle et la loi des sinus dans un triangle. La difficulté est d'écrire TOUTES les familles de solutions avant de filtrer par l'intervalle en encadrant k. Le piège classique : oublier une des deux familles, par exemple la solution π − α pour un sinus.

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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Trigonométrie (2) — Équations, inéquations & loi des sinus

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1 · Équations fondamentales
cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi ou x=−α+2kπx=-\alpha+2k\pi
x=±α+2kπx=\pm\alpha+2k\pi
sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha
x=α+2kπx=\alpha+2k\pi ou x=π−α+2kπx=\pi-\alpha+2k\pi
k∈Zk\in\mathbb{Z}
tan⁡x=tan⁡α\tan x=\tan\alpha
x=α+kπx=\alpha+k\pi
période π\pi
Condition d'existence
cos⁡x=a\cos x=a / sin⁡x=a\sin x=a
résoluble   ⟺  −1≤a≤1\iff -1\le a\le1
Cas cos⁡x=0\cos x=0
x=π2+kπx=\tfrac\pi2+k\pi
cos⁡x=1⇒x=2kπ\cos x=1\Rightarrow x=2k\pi
Cas sin⁡x=0\sin x=0
x=kπx=k\pi
sin⁡x=1⇒x=π2+2kπ\sin x=1\Rightarrow x=\tfrac\pi2+2k\pi
2 · Résoudre une équation
Ramener à la forme type
  • écrire aa sous la forme cos⁡α\cos\alpha (ou sin⁡α\sin\alpha) avec un angle remarquable
  • appliquer la formule et donner toutes les solutions
cos⁡x=12⇒x=±π3+2kπ\cos x=\tfrac12\Rightarrow x=\pm\tfrac\pi3+2k\pi
Équation algébrique
  • poser X=cos⁡xX=\cos x (ou sin⁡x\sin x), résoudre le trinôme en XX
  • garder les X∈[−1,1]X\in[-1,1], puis revenir à xx
Attention : rejeter toute racine X∉[−1,1]X\notin[-1,1].
Arguments composés
  • résoudre en 2x2x ou x+π3x+\tfrac\pi3, puis isoler xx
  • diviser aussi le 2kπ2k\pi : 2x=⋯⇒x=⋯+kπ2x=\dots\Rightarrow x=\dots+k\pi
Restreindre à un intervalle
  • écrire la solution générale x=⋯+2kπx=\dots+2k\pi
  • encadrer kk par l'intervalle, tester chaque kk entier
solutions de [0,2π[[0,2\pi[ : k=0,1k=0,1
3 · Formules & réflexes
cos⁡x=cos⁡α⇒x=±α+2kπ\cos x=\cos\alpha\Rightarrow x=\pm\alpha+2k\pi
sin⁡x=sin⁡α⇒x=α+2kπ\sin x=\sin\alpha\Rightarrow x=\alpha+2k\pi ou π−α+2kπ\pi-\alpha+2k\pi
tan⁡x=tan⁡α⇒x=α+kπ\tan x=\tan\alpha\Rightarrow x=\alpha+k\pi
existence : −1≤a≤1-1\le a\le1
poser X=cos⁡x∈[−1,1]X=\cos x\in[-1,1]
intervalle → encadrer kk
loi des sinus : asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R
k∈Zk\in\mathbb{Z} dans toute solution générale
4 · Inéquations & loi des sinus
Inéquation en cos⁡\cos
  • cos⁡x≥a\cos x\ge a : lire sur l'axe des abscisses du cercle
  • l'arc solution est autour de 00 (symétrique)
cos⁡x≥12  ⟺  x∈[−π3,π3] (+2kπ)\cos x\ge\tfrac12\iff x\in[-\tfrac\pi3,\tfrac\pi3]\ (+2k\pi)
Inéquation en sin⁡\sin
  • sin⁡x≥a\sin x\ge a : lire sur l'axe des ordonnées
  • repérer les deux angles limites sur le cercle
Inéquation en tan⁡\tan
  • découper aux valeurs interdites π2+kπ\tfrac\pi2+k\pi
  • résoudre par période π\pi, tableau de signes
Loi des sinus (triangle)
  • asin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\dfrac a{\sin A}=\dfrac b{\sin B}=\dfrac c{\sin C}=2R
  • relie côtés, angles et rayon du cercle circonscrit
un côté + deux angles ⇒\Rightarrow les autres côtés
★ Astuces géniales
  • cos⁡x=cos⁡α\cos x=\cos\alpha donne deux familles ±α\pm\alpha ; sin⁡x=sin⁡α\sin x=\sin\alpha donne α\alpha et π−α\pi-\alpha — ne jamais en oublier.
  • Équation algébrique : poser X=cos⁡xX=\cos x, mais rejeter tout X∉[−1,1]X\notin[-1,1].
  • Sur un intervalle donné : garder la solution générale et encadrer kk, pas deviner.
  • Une inéquation se lit sur le cercle : cos⁡\cos en abscisse, sin⁡\sin en ordonnée.
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