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Les généralités sur les fonctions rassemblent en Tronc Commun Sciences les premiers réflexes d'étude d'une fonction numérique. Cette fiche réunit l'ensemble de définition, l'image et l'antécédent, la parité, les variations obtenues sans dérivée par le taux d'accroissement, les extremums et les fonctions de référence (affine, x², k/x, second degré, homographique). À ce niveau, aucune dérivée : les variations se prouvent en étudiant le signe de f(x₂) − f(x₁). Le réflexe d'ordre : déterminer le domaine AVANT toute simplification, dénominateur non nul et radicande positif.

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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Généralités sur les fonctions — Domaine, parité, variations, courbes

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1 · Fonction, domaine & courbe
Image & antécédent
f(a)=bf(a)=b
bb image, aa antécédent
Domaine DfD_f
Q(x)≠0Q(x)\neq0, A(x):A(x)≥0\sqrt{A(x)}:A(x)\ge0
intersection des conditions
Point sur la courbe
M(a,b)∈Cf  ⟺  a∈Df, b=f(a)M(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f,\ b=f(a)
définition de Cf\mathcal C_f
Égalité de fonctions
f=g  ⟺  Df=Dgf=g\iff D_f=D_g et f=gf=g partout
même domaine exigé
Parité
f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) pair, f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) impair
DfD_f symétrique d'abord
Taux d'accroissement
τ=f(x2)−f(x1)x2−x1\tau=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
signe = sens de variation
2 · Domaine, parité & lecture
Déterminer DfD_f
  • dénominateur ≠0\neq0 ; radicand ≥0\ge0 (ou >0>0 au dénominateur)
  • résoudre chaque condition, puis intersecter
Ordre : domaine avant toute simplification.
Étudier la parité
  • vérifier x∈Df⇒−x∈Dfx\in D_f\Rightarrow-x\in D_f
  • calculer f(−x)f(-x) : =f(x)=f(x) pair, =−f(x)=-f(x) impair, sinon ni l'un ni l'autre
réduit le domaine d'étude à Df∩[0,+∞[D_f\cap[0,+\infty[
Lectures graphiques
  • f(a)f(a) = ordonnée du point d'abscisse aa
  • antécédents de bb : abscisses des points où y=by=b coupe Cf\mathcal C_f
f(x)>0f(x)>0 : courbe au-dessus de l'axe
Prouver un extremum
  • établir une inégalité valable pour tout xx (ex. forme canonique)
  • ne pas lire une valeur sur un dessin
(x−2)2+3≥3⇒(x-2)^2+3\ge3\Rightarrow minimum 33
3 · Formules & réflexes
M(a,b)∈Cf  ⟺  a∈Df, b=f(a)M(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f,\ b=f(a)
τ=f(x2)−f(x1)x2−x1\tau=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}
τ>0\tau>0 : croissante ; τ<0\tau<0 : décroissante
canonique : a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta, α=−b2a\alpha=-\tfrac b{2a}
sommet S(α,β)S(\alpha,\beta), axe x=αx=\alpha
affine mx+pmx+p : sens = signe de mm
kx\dfrac kx : impaire, hyperbole de centre OO
position : signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x)
4 · Variations & fonctions de référence
Variations sans dérivée
  • prendre x1<x2x_1<x_2, calculer f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1) ou τ\tau
  • factoriser, étudier le signe, dresser le tableau
Piège : toujours préciser l'intervalle (une réunion n'en est pas un).
Second degré
  • forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta
  • parabole, sommet S(α,β)S(\alpha,\beta) ; a>0a>0 minimum, a<0a<0 maximum
Fonction homographique
  • ax+bcx+d=β+γx−α\dfrac{ax+b}{cx+d}=\beta+\dfrac{\gamma}{x-\alpha}
  • centre S(α,β)S(\alpha,\beta), asymptotes x=αx=\alpha, y=βy=\beta
variations selon le signe de Δ=ad−bc\Delta=ad-bc
Position relative de deux courbes
  • étudier le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x)
  • >0>0 : Cf\mathcal C_f au-dessus ; =0=0 : points d'intersection
★ Astuces géniales
  • Le domaine se détermine avant toute simplification : dénominateur ≠0\neq0, radicand ≥0\ge0.
  • Parité : d'abord la symétrie du domaine, ensuite seulement f(−x)f(-x) — sinon on conclut faux.
  • En TCS, les variations se prouvent par le taux d'accroissement — aucune dérivée.
  • La forme canonique livre sommet, axe et extremum d'un seul coup ; l'homographique se réduit à β+γx−α\beta+\tfrac{\gamma}{x-\alpha}.
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