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Tronc Commun · Sciences · Chapitre 11

Généralités sur les fonctions

Une fonction numérique associe à chaque valeur autorisée de la variable une seule valeur : ce chapitre en installe tout le langage. On y apprend à distinguer image et antécédent (calculer f(a) pour l'image, résoudre f(x) = b pour les antécédents), puis à déterminer l'ensemble de définition D_f — dénominateur non nul, radicand positif ou nul — avant toute simplification. Vient ensuite la courbe représentative et les lectures graphiques (signe, zéros, extremums), la notion d'égalité de deux fonctions (même domaine ET mêmes valeurs), et l'étude de la parité, qui commence toujours par vérifier la symétrie du domaine. Le cœur du chapitre est l'étude des variations SANS dérivée, à ce niveau : on la mène par la définition ou par le signe du taux d'accroissement [f(x₂) − f(x₁)] / (x₂ − x₁). On applique enfin ces outils aux fonctions de référence — affine, carré ax², inverse k/x — puis aux deux courbes du programme : la parabole du second degré via sa forme canonique a(x − α)² + β (sommet, axe, extremum), et l'hyperbole homographique (ax + b)/(cx + d), réduite à β + γ/(x − α), avec son centre de symétrie et ses asymptotes.

1 · Résumé du cours

Une fonction numérique associe à chaque valeur autorisée de la variable une seule valeur. On apprend ici à déterminer son domaine, à lire et construire sa courbe, à étudier sa parité et ses variations (sans dérivée, uniquement par la définition et le taux d'accroissement), puis à reconnaître paraboles et hyperboles.

1.1 Fonction numérique, image et antécédent

Définition Pour D⊂RD\subset\mathbb{R}, une fonction numérique ff associe à chaque x∈Dx\in D un unique réel f(x)f(x) : f:D→R, x↦f(x)f:D\to\mathbb{R},\ x\mapsto f(x). L'ensemble DD est l'ensemble de définition DfD_f.
Définition — vocabulaire Si f(a)=bf(a)=b : bb est l'image de aa, et aa est un antécédent de bb. Un réel de DfD_f a une seule image, mais un réel peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.

Exemple. Pour f(x)=x2−3f(x)=x^2-3, f(2)=1f(2)=1 : 11 est l'image de 22. Ses antécédents résolvent x2−3=1  ⟺  x=±2x^2-3=1\iff x=\pm2 : 11 a deux antécédents.

Ne pas confondre image et antécédent Pour l'image de aa, remplacer xx par aa. Pour les antécédents de bb, résoudre f(x)=bf(x)=b dans DfD_f.

1.2 Ensemble de définition

Définition DfD_f est l'ensemble des réels xx pour lesquels f(x)f(x) a un sens.
Propriété — règles usuelles ExpressionConditionP(x) polynoˆmex∈RP(x)Q(x)Q(x)≠0A(x)A(x)≥0P(x)A(x)A(x)>0\begin{array}{c|c}\text{Expression}&\text{Condition}\\\hline P(x)\text{ polynôme}&x\in\mathbb{R}\\ \frac{P(x)}{Q(x)}&Q(x)\ne0\\ \sqrt{A(x)}&A(x)\ge0\\ \frac{P(x)}{\sqrt{A(x)}}&A(x)>0\end{array} Quand plusieurs difficultés coexistent, toutes les conditions doivent être vraies : on prend leur intersection.
Méthode — déterminer DfD_f (1) chaque dénominateur non nul ; (2) chaque radicand ≥0\ge0 (ou >0>0 s'il est au dénominateur) ; (3) résoudre chaque condition ; (4) faire l'intersection et écrire en intervalles.

Exemple. g(x)=x+2x2−9g(x)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2-9} : x≥−2x\ge-2 et x≠±3x\ne\pm3. Comme −3∉[−2,+∞[-3\notin[-2,+\infty[, seul 33 reste à exclure : Dg=[−2,3[∪]3,+∞[D_g=[-2,3[\cup]3,+\infty[.

Deux erreurs fréquentes Dans A(x)\sqrt{A(x)}, la valeur A(x)=0A(x)=0 est autorisée ; dans 1A(x)\frac1{\sqrt{A(x)}}, elle est interdite. Et l'on ne simplifie une expression qu'après avoir déterminé son domaine.

1.3 Courbe représentative et égalité de fonctions

Définition — courbe représentative La courbe Cf\mathcal C_f est l'ensemble des points M(x,f(x))M(x,f(x)), x∈Dfx\in D_f : M(a,b)∈Cf  ⟺  a∈Df et b=f(a).\boxed{M(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f\ \text{et}\ b=f(a).}
Propriété — lectures graphiques
  • f(a)f(a) est l'ordonnée du point de Cf\mathcal C_f d'abscisse aa ;
  • les antécédents de bb sont les abscisses des intersections avec y=by=b ;
  • f(x)>0f(x)>0 là où Cf\mathcal C_f est au-dessus de l'axe des abscisses, f(x)<0f(x)<0 au-dessous ;
  • les zéros de ff sont les intersections avec l'axe des abscisses.
Définition — égalité de fonctions f=gf=g si, et seulement si, Df=DgD_f=D_g et f(x)=g(x)f(x)=g(x) pour tout x∈Dfx\in D_f. Leurs courbes sont alors confondues.

Exemple. f(x)=x2−1x−1f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} et g(x)=x+1g(x)=x+1 coïncident pour x≠1x\ne1, mais Df=R∖{1}≠R=DgD_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\ne\mathbb{R}=D_g : ff et gg ne sont pas égales.

Définition — restriction Si I⊂DfI\subset D_f, la restriction de ff à II garde la même expression avec le domaine limité à II.

1.4 Fonctions paires et fonctions impaires

Première vérification : la symétrie du domaine Avant de calculer f(−x)f(-x), vérifier que x∈Df⇒−x∈Dfx\in D_f\Rightarrow-x\in D_f. Sinon, ff n'est ni paire ni impaire.
Définition — paire / impaire ff est paire si DfD_f est symétrique par rapport à 00 et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) : courbe symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Elle est impaire si f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) : courbe symétrique par rapport à l'origine.

Exemple. f(x)=3x2+5f(x)=3x^2+5 est paire ; g(x)=x3−2xg(x)=x^3-2x est impaire ; h(x)=x+1h(x)=x+1 n'est ni l'une ni l'autre.

Propriété — réduction du domaine d'étude Si DfD_f est symétrique, on étudie ff sur Df∩[0,+∞[D_f\cap[0,+\infty[, puis on complète : symétrie axiale (axe des ordonnées) si ff est paire, symétrie centrale de centre OO si ff est impaire.

1.5 Variations d'une fonction

Définition Sur un intervalle I⊂DfI\subset D_f, ff est croissante si x1<x2⇒f(x1)≤f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\le f(x_2), décroissante si x1<x2⇒f(x1)≥f(x2)x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)\ge f(x_2), constante si f(x1)=f(x2)f(x_1)=f(x_2). Avec << ou >>, on parle de variation stricte ; une fonction croissante ou décroissante est monotone.
Définition — taux d'accroissement Pour x1≠x2x_1\ne x_2 dans II : τf(x1,x2)=f(x2)−f(x1)x2−x1.\tau_f(x_1,x_2)=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.
Propriété Sur II, si τf>0\tau_f>0 pour tous x1≠x2x_1\ne x_2, ff est strictement croissante ; si τf<0\tau_f<0, strictement décroissante ; si τf=0\tau_f=0, constante. Avec des inégalités larges, on obtient croissance/décroissance au sens large.
Méthode — variations sans dérivée (1) prendre x1<x2x_1<x_2 dans II ; (2) calculer f(x2)−f(x1)f(x_2)-f(x_1) ou τf\tau_f ; (3) factoriser et étudier le signe ; (4) conclure et dresser le tableau.

Exemple (fonction carré). f(x)=x2f(x)=x^2 : pour 0≤x1<x20\le x_1<x_2, f(x2)−f(x1)=(x2−x1)(x2+x1)>0f(x_2)-f(x_1)=(x_2-x_1)(x_2+x_1)>0 → croissante sur [0,+∞[[0,+\infty[. Pour x1<x2≤0x_1<x_2\le0, x2+x1<0x_2+x_1<0 → décroissante sur ]−∞,0]]-\infty,0].

Propriété — parité et variations Pour I⊂[0,+∞[I\subset[0,+\infty[ : si ff est paire, les variations sur −I-I sont de sens opposé ; si ff est impaire, de même sens.
Toujours préciser l'intervalle Une réunion de deux intervalles n'est pas un intervalle : x↦1xx\mapsto\frac1x est décroissante sur ]−∞,0[]-\infty,0[ et sur ]0,+∞[]0,+\infty[ séparément, mais pas sur R∗\mathbb{R}^* entier.

1.6 Maximum et minimum

Définition Pour A⊂DfA\subset D_f et x0∈Ax_0\in A : ff a un maximum en x0x_0 si f(x)≤f(x0)f(x)\le f(x_0) pour tout x∈Ax\in A ; un minimum si f(x)≥f(x0)f(x)\ge f(x_0). La valeur extrême est f(x0)f(x_0).
Méthode — prouver un extremum Ne pas lire une valeur sur un dessin : établir une inégalité valable pour tout xx du domaine, ou utiliser des variations déjà démontrées.

Exemple. f(x)=x2−4x+7=(x−2)2+3≥3f(x)=x^2-4x+7=(x-2)^2+3\ge3, avec égalité en x=2x=2 : minimum 33 atteint en 22.

1.7 Fonctions de référence

Propriété — fonction affine f(x)=mx+pf(x)=mx+p Définie sur R\mathbb{R}, courbe une droite, taux d'accroissement constant =m=m. Strictement croissante si m>0m>0, décroissante si m<0m<0, constante si m=0m=0.
Propriété — fonction x↦ax2 (a≠0)x\mapsto ax^2\ (a\ne0) Df=RD_f=\mathbb{R}, ff paire, courbe une parabole de sommet OO, d'axe l'axe des ordonnées. Si a>0a>0 : décroît puis croît, minimum 00 en 00. Si a<0a<0 : croît puis décroît, maximum 00 en 00. x−∞0+∞ax2 (a>0)+∞↘ 0 ↗+∞ax2 (a<0)−∞↗ 0 ↘−∞\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&0&+\infty\\\hline ax^2\ (a>0)&+\infty&\searrow\ 0\ \nearrow&+\infty\\ ax^2\ (a<0)&-\infty&\nearrow\ 0\ \searrow&-\infty\end{array}
Propriété — fonction x↦kx (k≠0)x\mapsto\frac kx\ (k\ne0) Df=R∗D_f=\mathbb{R}^*, ff impaire, courbe une hyperbole de centre OO dont les axes sont asymptotes. Si k>0k>0 : strictement décroissante sur ]−∞,0[]-\infty,0[ et ]0,+∞[]0,+\infty[. Si k<0k<0 : strictement croissante sur chacun.

Démonstration. Pour x1≠x2x_1\ne x_2 du même intervalle, τf=kx2−kx1x2−x1=−kx1x2\tau_f=\frac{\frac k{x_2}-\frac k{x_1}}{x_2-x_1}=-\frac{k}{x_1x_2}. Or x1x2>0x_1x_2>0, donc τf\tau_f a le signe de −k-k. ∎

1.8 Fonction polynôme du second degré

Théorème — forme canonique Toute f(x)=ax2+bx+c (a≠0)f(x)=ax^2+bx+c\ (a\ne0) s'écrit f(x)=a(x−α)2+β,α=−b2a,β=f(α)=−b2−4ac4a.\boxed{f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta},\quad\alpha=-\frac b{2a},\quad\beta=f(\alpha)=-\frac{b^2-4ac}{4a}.

Démonstration. ax2+bx+c=a(x2+bax)+c=a[(x+b2a)2−b24a2]+c=a(x+b2a)2−b2−4ac4aax^2+bx+c=a\left(x^2+\frac ba x\right)+c=a\left[\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\right]+c=a\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\frac{b^2-4ac}{4a}, et x+b2a=x−αx+\frac b{2a}=x-\alpha. ∎

Propriété — sommet, axe et variations La courbe de f(x)=a(x−α)2+βf(x)=a(x-\alpha)^2+\beta est une parabole de sommet S(α,β)S(\alpha,\beta), d'axe x=αx=\alpha. Si a>0a>0, tournée vers le haut, β\beta minimum ; si a<0a<0, vers le bas, β\beta maximum. x−∞α+∞f (a>0)+∞↘ β ↗+∞f (a<0)−∞↗ β ↘−∞\begin{array}{c|ccc}x&-\infty&\alpha&+\infty\\\hline f\ (a>0)&+\infty&\searrow\ \beta\ \nearrow&+\infty\\ f\ (a<0)&-\infty&\nearrow\ \beta\ \searrow&-\infty\end{array}
Méthode — construire une parabole (1) forme canonique, placer S(α,β)S(\alpha,\beta) ; (2) tracer l'axe x=αx=\alpha ; (3) calculer quelques points d'un côté ; (4) construire leurs symétriques et tracer.

1.9 Fonctions homographiques

Définition f(x)=ax+bcx+df(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}, avec c≠0c\ne0 et Δ=ad−bc≠0\Delta=ad-bc\ne0. Elle est homographique et Df=R∖{−dc}.\boxed{D_f=\mathbb{R}\setminus\left\{-\tfrac dc\right\}.} La condition Δ≠0\Delta\ne0 exclut le cas d'un quotient constant.
Propriété — forme réduite En posant α=−dc\alpha=-\frac dc, β=ac\beta=\frac ac, γ=−Δc2\gamma=-\frac{\Delta}{c^2}, f(x)=β+γx−α.\boxed{f(x)=\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}}. La courbe est une hyperbole de centre de symétrie S(α,β)S(\alpha,\beta), avec asymptote verticale x=αx=\alpha et horizontale y=βy=\beta.

Démonstration. ax+bcx+d=ac+bc−adc(cx+d)=ac+bc−adc2(x+dc)=β+γx−α\frac{ax+b}{cx+d}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c(cx+d)}=\frac ac+\frac{bc-ad}{c^2(x+\frac dc)}=\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha}. ∎

Propriété — variations Sur chacun des intervalles ]−∞,−dc[]-\infty,-\frac dc[ et ]−dc,+∞[]-\frac dc,+\infty[ : si Δ>0\Delta>0, ff est strictement croissante ; si Δ<0\Delta<0, strictement décroissante. En effet τf=Δ(cx1+d)(cx2+d)\tau_f=\frac{\Delta}{(cx_1+d)(cx_2+d)}, et le dénominateur est >0>0 sur chaque intervalle.

Exemple. f(x)=x−1x+2f(x)=\frac{x-1}{x+2} : Df=R∖{−2}D_f=\mathbb{R}\setminus\{-2\}, f(x)=1−3x+2f(x)=1-\frac3{x+2}, centre S(−2,1)S(-2,1), asymptotes x=−2x=-2, y=1y=1. Δ=1⋅2−(−1)⋅1=3>0\Delta=1\cdot2-(-1)\cdot1=3>0 → strictement croissante sur chaque intervalle.

Méthode — étudier une homographique (1) DfD_f en annulant le dénominateur ; (2) Δ=ad−bc\Delta=ad-bc et variations ; (3) forme β+γx−α\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha} ; (4) placer S(α,β)S(\alpha,\beta) et les asymptotes ; (5) quelques points sur une branche, l'autre par symétrie centrale de centre SS.

1.10 Position relative et résolution graphique

Propriété — comparer deux courbes Sur II : Cf\mathcal C_f est au-dessus de Cg\mathcal C_g quand f(x)≥g(x)f(x)\ge g(x), au-dessous quand f(x)≤g(x)f(x)\le g(x) ; les intersections résolvent f(x)=g(x)f(x)=g(x). Algébriquement, on étudie le signe de f(x)−g(x)f(x)-g(x).
Propriété — équations et inéquations graphiques Les solutions de f(x)=mf(x)=m sont les abscisses des intersections de Cf\mathcal C_f avec y=my=m ; celles de f(x)≥mf(x)\ge m (resp. ≤m\le m) les portions au-dessus (resp. au-dessous) de y=my=m. Bornes incluses pour ≤,≥\le,\ge, exclues pour <,><,>.
Définition — fonction périodique ff est périodique de période T>0T>0 si son domaine est stable par translation de TT et f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x). On l'étudie sur un intervalle de longueur TT, puis on répète par les translations kT ı⃗kT\,\vec\imath, k∈Zk\in\mathbb{Z}.

1.11 Méthode de synthèse : étude complète

Méthode — étudier puis représenter une fonction
  1. déterminer précisément DfD_f ;
  2. calculer les images / antécédents demandés ;
  3. vérifier la parité et réduire le domaine d'étude ;
  4. étudier les variations (définition ou taux d'accroissement) ;
  5. déterminer extremums et éléments géométriques ;
  6. dresser tableau de variations et tableau de valeurs ;
  7. tracer en respectant domaine, symétries et variations.
L'essentiel du chapitre
  • DfD_f se détermine avant toute simplification (dénominateur ≠0\ne0, radicand ≥0\ge0).
  • M(a,b)∈Cf  ⟺  a∈DfM(a,b)\in\mathcal C_f\iff a\in D_f et b=f(a)b=f(a).
  • Deux fonctions égales ont le même domaine et les mêmes valeurs.
  • Pour la parité, vérifier d'abord la symétrie de DfD_f, puis calculer f(−x)f(-x).
  • Les variations se démontrent par la définition ou le taux d'accroissement (aucune dérivée en TCS).
  • La forme canonique a(x−α)2+βa(x-\alpha)^2+\beta donne sommet, axe et extremum.
  • Une homographique se réduit à β+γx−α\beta+\frac{\gamma}{x-\alpha} : centre S(α,β)S(\alpha,\beta), variations selon le signe de Δ=ad−bc\Delta=ad-bc.

2 · Exercices résolus

Forme canonique

Exercice 1

Soit f(x)=x2−6x+11f(x)=x^2-6x+11. Mettre ff sous forme canonique, en déduire le sommet et le minimum.

Voir la correction

1. Domaine. Expression polynomiale : Df=RD_f=\mathbb{R}.

2. Forme canonique. Comme (x−3)2=x2−6x+9(x-3)^2=x^2-6x+9, on a x2−6x=(x−3)2−9x^2-6x=(x-3)^2-9, donc f(x)=(x−3)2−9+11=(x−3)2+2,f(x)=(x−3)2+2.f(x)=(x-3)^2-9+11=(x-3)^2+2,\qquad\boxed{f(x)=(x-3)^2+2}. Contrôle : (x−3)2+2=x2−6x+11(x-3)^2+2=x^2-6x+11 ✓.

3. Sommet et axe. Ici a=1,α=3,β=2a=1,\alpha=3,\beta=2 : parabole de sommet S(3,2)\boxed{S(3,2)}, axe x=3x=3.

4. Minimum. (x−3)2≥0⇒f(x)≥2(x-3)^2\ge0\Rightarrow f(x)\ge2, avec égalité pour x=3x=3. Le minimum de ff est 2\boxed{2}, atteint en x=3x=3 (et f(3)=2f(3)=2). ■\blacksquare

Ensemble de définition

Exercice 2

Déterminer l'ensemble de définition de f(x)=2x−4x−5f(x)=\dfrac{\sqrt{2x-4}}{x-5}.

Voir la correction

1. Racine carrée. 2x−4≥0  ⟺  x≥22x-4\ge0\iff x\ge2 (la valeur 22 est admise : le numérateur vaut 00).

2. Dénominateur. x−5≠0  ⟺  x≠5x-5\ne0\iff x\ne5.

3. Intersection. x≥2x\ge2 en excluant 55 : Df=[2,5[∪]5,+∞[.\boxed{D_f=[2,5[\cup]5,+\infty[.}

4. Vérification. x<2x<2 → racine non définie ; x=2x=2 → numérateur 00, dénominateur −3-3, admise ; x=5x=5 → dénominateur 00, interdite ; x>2, x≠5x>2,\ x\ne5 → les deux conditions tiennent. ■\blacksquare

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