Tronc Commun · Sciences · Chapitre 10

QCM — Calcul trigonométrique (2)

Équations cos x = a et sin x = a, arcs associés et formules de symétrie (π−x, π+x, π/2−x) : vérifie ta maîtrise des équations trigonométriques. Questions auto-corrigées.

QCM interactif

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Question 1 / 10

Les solutions de \(\cos x=1\) sont :

0 / 10 répondue

Réviser : les 10 questions et leur corrigé

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

Question 1
Les solutions de \(\cos x=1\) sont :
- ✓\(x=2k\pi\)
- B\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
- C\(x=\pi+2k\pi\)
- D\(x=k\pi\)
Remarque
\(\cos x=1\) au point \((1,0)\) du cercle, atteint pour \(x=2k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Question 2
\(\cos x=\cos a\) équivaut à :
- ✓\(x=a+2k\pi\ \text{ou}\ x=-a+2k\pi\)
- B\(x=a+2k\pi\) uniquement
- C\(x=a+k\pi\)
- D\(x=-a\)
Remarque
Deux angles ont même cosinus s'ils sont opposés (modulo \(2\pi\)) : \(x=a+2k\pi\) ou \(x=-a+2k\pi\).
Question 3
\(\sin x=\sin a\) équivaut à :
- ✓\(x=a+2k\pi\ \text{ou}\ x=\pi-a+2k\pi\)
- B\(x=a+k\pi\)
- C\(x=-a+2k\pi\)
- D\(x=a\) uniquement
Remarque
Deux angles ont même sinus s'ils sont égaux ou supplémentaires (modulo \(2\pi\)) : \(x=a+2k\pi\) ou \(x=\pi-a+2k\pi\).
Question 4
Les solutions de \(\sin x=0\) sont :
- ✓\(x=k\pi\)
- B\(x=2k\pi\)
- C\(x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi\)
- D\(x=\pi+2k\pi\)
Remarque
\(\sin x=0\) aux points \((\pm1,0)\) : \(x=k\pi\), \(k\in\mathbb{Z}\).
Question 5
\(\cos(\pi-x)\) est égal à :
- ✓\(-\cos x\)
- B\(\cos x\)
- C\(\sin x\)
- D\(-\sin x\)
Remarque
\(\cos(\pi-x)=-\cos x\) (angles supplémentaires).
Question 6
\(\sin(\pi-x)\) est égal à :
- ✓\(\sin x\)
- B\(-\sin x\)
- C\(\cos x\)
- D\(-\cos x\)
Remarque
\(\sin(\pi-x)=\sin x\) : deux angles supplémentaires ont le même sinus.
Question 7
\(\cos(\pi+x)\) est égal à :
- ✓\(-\cos x\)
- B\(\cos x\)
- C\(\sin x\)
- D\(-\sin x\)
Remarque
\(\cos(\pi+x)=-\cos x\) (angles opposés diamétralement).
Question 8
\(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) est égal à :
- ✓\(\sin x\)
- B\(\cos x\)
- C\(-\sin x\)
- D\(-\cos x\)
Remarque
Angles complémentaires : \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin x\).
Question 9
\(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)\) est égal à :
- ✓\(\cos x\)
- B\(\sin x\)
- C\(-\cos x\)
- D\(-\sin x\)
Remarque
Angles complémentaires : \(\sin\!\left(\dfrac{\pi}{2}-x\right)=\cos x\).
Question 10
Sur \([0,2\pi[\), les solutions de \(\cos x=\dfrac12\) sont :
- ✓\(x=\dfrac{\pi}{3}\ \text{ou}\ x=\dfrac{5\pi}{3}\)
- B\(x=\dfrac{\pi}{3}\) seulement
- C\(x=\dfrac{\pi}{6}\ \text{ou}\ x=\dfrac{5\pi}{6}\)
- D\(x=\dfrac{2\pi}{3}\)
Remarque
\(\cos x=\dfrac12=\cos\dfrac{\pi}{3}\), donc \(x=\dfrac{\pi}{3}\) ou \(x=-\dfrac{\pi}{3}\equiv\dfrac{5\pi}{3}\) sur \([0,2\pi[\).

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