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Les polynômes apparaissent en Tronc Commun Sciences dès qu'on calcule sur des expressions littérales et qu'on résout des équations. Cette fiche réunit le degré, la valeur numérique, l'identification des coefficients, la division euclidienne, le théorème du reste P(a), les racines et la factorisation par (x − a), le schéma de Horner et la règle du produit nul. L'idée centrale : une racine a de P équivaut à ce que P soit divisible par (x − a), donc un degré de moins. Le réflexe pour un simple reste par x − a : calculer P(a) plutôt que poser toute la division.

P(x)P(x)
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Les polynômes — Degré, division, racines & factorisation

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1 · Vocabulaire & opérations
Forme réduite
P(x)=anxn+⋯+a1x+a0P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0
an≠0a_n\neq0, deg⁡P=n\deg P=n
Valeur numérique
P(a)P(a) : remplacer xx par aa
P(0)=a0P(0)=a_0 (terme constant)
Égalité
coefficients de même degré égaux
compléter par des 00
Degré d'un produit
deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q
dominants multipliés
Degré d'une somme
deg⁡(P+Q)≤max⁡(deg⁡P,deg⁡Q)\deg(P+Q)\le\max(\deg P,\deg Q)
peut diminuer
Racine
aa racine   ⟺  P(a)=0\iff P(a)=0
zéro du polynôme
2 · Division & reste
Division euclidienne
  • P(x)=A(x)Q(x)+R(x)P(x)=A(x)Q(x)+R(x), A≠0A\neq0
  • R=0R=0 ou deg⁡R<deg⁡A\deg R<\deg A ; couple (Q,R)(Q,R) unique
Poser la division
  • ordonner, compléter les puissances manquantes par 00
  • diviser les termes dominants, multiplier, soustraire, répéter
Piège : oublier un coefficient nul décale tous les calculs.
Théorème du reste
  • P(x)=(x−a)Q(x)+P(a)P(x)=(x-a)Q(x)+P(a)
  • le reste de PP par x−ax-a est P(a)P(a)
reste sans poser la division
Divisibilité
  • PP divisible par A  ⟺  A\iff reste nul
  • alors P(x)=A(x)Q(x)P(x)=A(x)Q(x)
3 · Formules & réflexes
deg⁡P=n\deg P=n, coefficient dominant an≠0a_n\neq0
P(0)=a0P(0)=a_0
deg⁡(PQ)=deg⁡P+deg⁡Q\deg(PQ)=\deg P+\deg Q
P=AQ+RP=AQ+R, deg⁡R<deg⁡A\deg R<\deg A
reste par x−ax-a : P(a)P(a)
P(a)=0  ⟺  (x−a)∣PP(a)=0\iff (x-a)\mid P
degré nn ⇒ au plus nn racines
produit nul : un facteur au moins =0=0
4 · Racines, factorisation & équations
Théorème de factorisation
  • P(a)=0  ⟺  P(x)=(x−a)Q(x)P(a)=0\iff P(x)=(x-a)Q(x)
  • si P≠0P\neq0 : deg⁡Q=deg⁡P−1\deg Q=\deg P-1
Chercher puis exploiter une racine
  • tester 0,1,−1,2,−20,1,-1,2,-2 ; dès que P(a)=0P(a)=0, écrire (x−a)Q(x)(x-a)Q(x)
  • déterminer QQ (identification, division ou Horner)
un degré nn a au plus nn racines
Schéma de Horner
  • abaisser, ×a\times a, ajouter au coefficient suivant, répéter
  • dernier nombre =P(a)=P(a), les autres = quotient
Écrire tous les coefficients, zéros compris.
Résoudre P(x)=0P(x)=0
  • tout ramener =0=0, factoriser complètement
  • règle du produit nul, réunir les solutions
(x−2)(x−3)(x+1)=0⇒S={−1,2,3}(x-2)(x-3)(x+1)=0\Rightarrow S=\{-1,2,3\}
★ Astuces géniales
  • Le théorème du reste donne le reste par x−ax-a sans division : il suffit de calculer P(a)P(a).
  • P(a)=0  ⟺  PP(a)=0\iff P divisible par x−ax-a : c'est le pont entre racines et factorisation.
  • Horner calcule d'un coup P(a)P(a) et le quotient — mais n'oubliez jamais les coefficients nuls.
  • Résoudre une équation polynomiale = factoriser, puis appliquer la règle du produit nul.
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