QCM — Les polynômes

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Le degré du polynôme \(P(x)=3x^{4}-2x+1\) est :

   • ✓\(4\)
   • B\(3\)
   • C\(1\)
   • D\(7\)

   Remarque

   Le degré est le plus grand exposant apparaissant : ici \(4\).

2. Question 2

   \((a+b)^{2}\) est égal à :

   • ✓\(a^{2}+2ab+b^{2}\)
   • B\(a^{2}+b^{2}\)
   • C\(a^{2}-2ab+b^{2}\)
   • D\(a^{2}+ab+b^{2}\)

   Remarque

   Identité remarquable : \((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\).

3. Question 3

   \(a^{2}-b^{2}\) se factorise en :

   • ✓\((a-b)(a+b)\)
   • B\((a-b)^{2}\)
   • C\((a+b)^{2}\)
   • D\(a^{2}+b^{2}\)

   Remarque

   Différence de deux carrés : \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\).

4. Question 4

   \(2\) est une racine de \(P\) si et seulement si :

   • ✓\(P(2)=0\)
   • B\(P(0)=2\)
   • C\(P'(2)=0\)
   • D\(\deg P=2\)

   Remarque

   Une racine est un réel qui annule le polynôme : \(P(2)=0\).

5. Question 5

   Si \(a\) est une racine de \(P\), alors \(P\) est divisible par :

   • ✓\(x-a\)
   • B\(x+a\)
   • C\(a\)
   • D\(x^{2}\)

   Remarque

   Théorème : \(a\) racine \(\iff (x-a)\) divise \(P\).

6. Question 6

   La factorisation de \(x^{2}-5x+6\) est :

   • ✓\((x-2)(x-3)\)
   • B\((x+2)(x+3)\)
   • C\((x-1)(x-6)\)
   • D\((x-2)(x+3)\)

   Remarque

   Racines \(2\) et \(3\) (somme \(5\), produit \(6\)), donc \(x^2-5x+6=(x-2)(x-3)\).

7. Question 7

   Le discriminant de \(ax^{2}+bx+c\) est :

   • ✓\(b^{2}-4ac\)
   • B\(b^{2}+4ac\)
   • C\(4ac-b^{2}\)
   • D\((b-4ac)^{2}\)

   Remarque

   Le discriminant est \(\Delta=b^{2}-4ac\).

8. Question 8

   Si \(\Delta<0\), l'équation \(ax^{2}+bx+c=0\) :

   • ✓n'a pas de racine réelle
   • Ba deux racines distinctes
   • Ca une racine double
   • Da une infinité de racines

   Remarque

   \(\Delta<0\) : pas de racine réelle. (\(\Delta=0\) : racine double ; \(\Delta>0\) : deux racines.)

9. Question 9

   La somme des racines de \(ax^{2}+bx+c=0\) (\(\Delta\ge 0\)) vaut :

   • ✓\(-\dfrac{b}{a}\)
   • B\(\dfrac{b}{a}\)
   • C\(\dfrac{c}{a}\)
   • D\(-\dfrac{c}{a}\)

   Remarque

   Relations somme/produit : \(x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}\).

10. Question 10

    Le produit des racines de \(ax^{2}+bx+c=0\) (\(\Delta\ge 0\)) vaut :

    • ✓\(\dfrac{c}{a}\)
    • B\(-\dfrac{c}{a}\)
    • C\(-\dfrac{b}{a}\)
    • D\(\dfrac{a}{c}\)

    Remarque

    Relations somme/produit : \(x_1\,x_2=\dfrac{c}{a}\).