Fiche de révision — La droite dans le plan · Tronc Commun Sciences

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La droite dans le plan apprend en Tronc Commun Sciences à représenter et reconnaître une droite par ses différentes équations. Cette fiche réunit la définition vectorielle, la représentation paramétrique, l'équation cartésienne ax + by + c = 0 avec le vecteur directeur (−b, a), l'équation réduite y = mx + p et les positions relatives de deux droites. Le déterminant reste l'outil unique pour l'alignement et le parallélisme, et se lit vite à partir des coefficients. Le réflexe : de ax + by + c = 0, le vecteur directeur (−b, a) se lit d'un coup d'œil.

Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

La droite dans le plan — Équations, vecteur directeur, positions relatives

Math Excellence

1 · Repère & coordonnées

Coordonnées d'un point

\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath

M(x,y)

Vecteur

\overrightarrow{AB}

(x_B-x_A,\ y_B-y_A)

coordonnée par coordonnée

Milieu de

[AB]

\big(\tfrac{x_A+x_B}2,\tfrac{y_A+y_B}2\big)

moyenne des coordonnées

Déterminant

\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y

=0\iff

colinéaires

Alignement

\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0

A,B,C

alignés

Distance (orthonormé)

AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}

2 · Représenter une droite

Définition vectorielle

$M\in D(A,\vec u)\iff\overrightarrow{AM}=t\vec u$ , $t\in\mathbb{R}$
vecteur directeur $\vec u\neq\vec0$ ; $\overrightarrow{AB}$ dirige $(AB)$

Représentation paramétrique

$\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\ y=y_A+t\beta\end{cases}$ ( $\vec u(\alpha,\beta)$ )
on lit un point ( $t=0$ ) et un directeur

Équation cartésienne

$ax+by+c=0$ , $(a,b)\neq(0,0)$
vecteur directeur $\vec u(-b,a)$

test :

ax_M+by_M+c=0\iff M\in(D)

Équation réduite

si $b\neq0$ : $y=mx+p$ , $m=-\tfrac ab$
$(AB)$ : $m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}$ ( $x_A\neq x_B$ )

verticale :

x=k

; horizontale :

y=k

3 · Formules & réflexes

\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\ y_B-y_A)

\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y

paramétrique :

x=x_A+t\alpha,\ y=y_A+t\beta

cartésienne :

ax+by+c=0

directeur de

ax+by+c=0

(-b,a)

réduite :

y=mx+p

m=-\tfrac ab

par

A

, dir.

\vec u

\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0

sécantes

\iff ab'-a'b\neq0

4 · Trouver une équation & positions relatives

Un point + un directeur

$M\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0$
$\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0$

Par deux points

prendre $A$ et $\vec u=\overrightarrow{AB}$
$\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0$ , simplifier, vérifier $A,B$

Positions relatives

$ab'-a'b\neq0$ : sécantes
$=0$ : parallèles ou confondues

Ne pas s'arrêter : proportionnels

\Rightarrow

confondues ; sinon strictement

\parallel

Point d'intersection

résoudre le système des deux équations
vérifier $I(x,y)$ dans les deux droites

★ Astuces géniales

Le déterminant est l'outil unique : colinéarité, alignement de 3 points, parallélisme de 2 droites.
De $ax+by+c=0$ , le vecteur directeur $(-b,a)$ se lit d'un coup d'œil.
La forme paramétrique fabrique les points ; la cartésienne teste vite l'appartenance.
$ab'-a'b=0$ ne suffit pas : il reste à distinguer confondues et strictement parallèles.

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