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Tronc Commun · Sciences · Chapitre 6

La droite dans le plan

Ce chapitre fait entrer la géométrie dans le calcul : en posant un repère, une droite devient une équation, et l'alignement ou le parallélisme se décident par une simple opération sur les coordonnées. On commence par les bases et repères (orthogonal, normé, orthonormé), les coordonnées d'un vecteur AB (xB − xA, yB − yA), du milieu, et le déterminant xy′ − x′y qui vaut 0 exactement quand deux vecteurs sont colinéaires — l'outil universel pour tester colinéarité, alignement et parallélisme. Vient ensuite le cœur du chapitre : une droite se décrit de trois façons complémentaires — par un vecteur directeur (définition vectorielle), par une représentation paramétrique (x = xA + tα, y = yA + tβ) qui fabrique les points, et par une équation cartésienne ax + by + c = 0 (vecteur directeur (−b, a)) qui teste vite l'appartenance. On apprend à passer de l'une à l'autre, à lire l'équation réduite y = mx + p avec son coefficient directeur m = (yB − yA)/(xB − xA), et enfin à décider la position relative de deux droites via le signe de ab′ − a′b, en distinguant sécantes, strictement parallèles et confondues.

1 · Résumé du cours

La géométrie analytique traduit les propriétés d'une figure en calculs sur les coordonnées. Grâce à un repère, l'alignement, le parallélisme, l'appartenance à une droite ou la recherche d'un point d'intersection deviennent des problèmes algébriques que l'on résout par des méthodes précises.

1.1 Base et repère du plan

Définition — base du plan Deux vecteurs non colinéaires ı⃗\vec\imath et ȷ⃗\vec\jmath forment une base du plan. Tout vecteur u⃗\vec u s'écrit alors de façon unique u⃗=xı⃗+yȷ⃗\vec u=x\vec\imath+y\vec\jmath, et (x,y)(x,y) est le couple de coordonnées de u⃗\vec u dans la base (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath).
Définition — repère du plan Un repère est formé d'un point OO (l'origine) et d'une base (ı⃗,ȷ⃗)(\vec\imath,\vec\jmath) ; on le note (O,ı⃗,ȷ⃗)(O,\vec\imath,\vec\jmath). Le point MM a pour coordonnées (x,y)(x,y) si OM→=xı⃗+yȷ⃗.\boxed{\overrightarrow{OM}=x\vec\imath+y\vec\jmath.}
Propriété — types de repères Un repère est orthogonal si ses axes sont perpendiculaires, normé si ∥ı⃗∥=∥ȷ⃗∥=1\|\vec\imath\|=\|\vec\jmath\|=1, et orthonormé s'il est à la fois orthogonal et normé. Les formules de distance et de norme exigent un repère orthonormé.

1.2 Calculs sur les coordonnées

Propriété — égalité, somme, produit par un réel Pour u⃗(x,y)\vec u(x,y), v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') et λ∈R\lambda\in\mathbb{R} : u⃗=v⃗  ⟺  x=x′ et y=y′,\vec u=\vec v\iff x=x'\ \text{et}\ y=y', u⃗+v⃗=(x+x′,y+y′),λu⃗=(λx,λy).\boxed{\vec u+\vec v=(x+x',y+y')},\qquad\boxed{\lambda\vec u=(\lambda x,\lambda y)}. Toutes les opérations se font coordonnée par coordonnée.
Propriété — vecteur défini par deux points Pour A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) : AB→=(xB−xA, yB−yA).\boxed{\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A).} En particulier A=B  ⟺  AB→=0⃗A=B\iff\overrightarrow{AB}=\vec0.
Propriété — coordonnées du milieu Le milieu II de [AB][AB] a pour coordonnées I(xA+xB2,yA+yB2).\boxed{I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).}

Exemple. Pour A(−1,3)A(-1,3) et B(5,−1)B(5,-1) : AB→=(6,−4)\overrightarrow{AB}=(6,-4) et le milieu de [AB][AB] est I(−1+52,3−12)=(2,1)I\left(\dfrac{-1+5}{2},\dfrac{3-1}{2}\right)=(2,1).

1.3 Déterminant et colinéarité

Définition Le déterminant des vecteurs u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') est det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−x′y=∣xx′yy′∣.\boxed{\det(\vec u,\vec v)=xy'-x'y}=\begin{vmatrix}x&x'\\y&y'\end{vmatrix}.
Théorème — condition analytique de colinéarité u⃗(x,y)\vec u(x,y) et v⃗(x′,y′)\vec v(x',y') sont colinéaires si et seulement si det⁡(u⃗,v⃗)=0\boxed{\det(\vec u,\vec v)=0}, c'est-à-dire xy′−x′y=0xy'-x'y=0.
Propriété — alignement de trois points A,B,CA,B,C sont alignés si et seulement si AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} sont colinéaires : A,B,C aligneˊs  ⟺  det⁡(AB→,AC→)=0.\boxed{A,B,C\text{ alignés}\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0.}
Méthode — vérifier un alignement (1) calculer les coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et AC→\overrightarrow{AC} ; (2) calculer leur déterminant ; (3) conclure : déterminant nul ⇒\Rightarrow alignement ; non nul ⇒\Rightarrow points non alignés.
Un seul outil, plusieurs usages Le déterminant vérifie la colinéarité de deux vecteurs, l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites. Il suffit de choisir les bons vecteurs avant de calculer.

1.4 Norme et distance dans un repère orthonormé

Propriété Dans un repère orthonormé, la norme de u⃗(x,y)\vec u(x,y) est ∥u⃗∥=x2+y2.\boxed{\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}.} Par conséquent, pour A(xA,yA)A(x_A,y_A) et B(xB,yB)B(x_B,y_B) : AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2.\boxed{AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}.}
Vérifier le repère La formule de la distance ne s'utilise que dans un repère orthonormé. Les formules des coordonnées de AB→\overrightarrow{AB} et du milieu restent, elles, valables dans tout repère.

Exemple. Dans un repère orthonormé, pour A(1,−2)A(1,-2) et B(4,2)B(4,2) : AB=(4−1)2+(2+2)2=9+16=5AB=\sqrt{(4-1)^2+(2+2)^2}=\sqrt{9+16}=5.

1.5 Vecteur directeur et définition vectorielle d'une droite

Définition Un vecteur directeur d'une droite (D)(D) est un vecteur non nul dont la direction est celle de (D)(D). Si u⃗\vec u dirige (D)(D), tout vecteur non nul colinéaire à u⃗\vec u dirige aussi (D)(D).
Propriété — définition vectorielle La droite passant par AA et dirigée par u⃗≠0⃗\vec u\ne\vec0 est l'ensemble des points MM tels que M∈(D)  ⟺  ∃ t∈R: AM→=tu⃗.\boxed{M\in(D)\iff\exists\,t\in\mathbb{R}:\ \overrightarrow{AM}=t\vec u.} On la note D(A,u⃗)D(A,\vec u).
Propriété Si A≠BA\ne B, le vecteur AB→\overrightarrow{AB} est un vecteur directeur de (AB)(AB). Tous les vecteurs directeurs de (AB)(AB) sont les vecteurs non nuls colinéaires à AB→\overrightarrow{AB}.

1.6 Représentation paramétrique d'une droite

Théorème La droite passant par A(xA,yA)A(x_A,y_A) de vecteur directeur u⃗(α,β)≠0⃗\vec u(\alpha,\beta)\ne\vec0 admet la représentation paramétrique {x=xA+tα,y=yA+tβ,t∈R.\boxed{\begin{cases}x=x_A+t\alpha,\\y=y_A+t\beta,\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.} Chaque valeur de tt donne un point de la droite, et chaque point correspond à une unique valeur de tt.
Méthode — lire une représentation paramétrique Dans {x=xA+tαy=yA+tβ\begin{cases}x=x_A+t\alpha\\y=y_A+t\beta\end{cases} on lit directement un point A(xA,yA)A(x_A,y_A) (obtenu pour t=0t=0) et un vecteur directeur u⃗(α,β)\vec u(\alpha,\beta).

Exemple. La droite {x=2−3ty=−1+4t\begin{cases}x=2-3t\\y=-1+4t\end{cases} passe par A(2,−1)A(2,-1), de vecteur directeur u⃗(−3,4)\vec u(-3,4) ; pour t=1t=1 on obtient B(−1,3)B(-1,3).

Méthode — tester l'appartenance (forme paramétrique) Pour vérifier si M(xM,yM)M(x_M,y_M) appartient à une droite paramétrique, remplacer xx et yy par xMx_M et yMy_M : le point appartient à la droite si une même valeur de tt satisfait les deux équations.

1.7 Équation cartésienne d'une droite

Théorème Soient a,b,ca,b,c réels avec (a,b)≠(0,0)(a,b)\ne(0,0). L'ensemble des points M(x,y)M(x,y) vérifiant ax+by+c=0\boxed{ax+by+c=0} est une droite, dont un vecteur directeur est u⃗(−b,a).\boxed{\vec u(-b,a).} Réciproquement, toute droite admet une équation de cette forme.
Propriété — équations équivalentes Une droite possède une infinité d'équations cartésiennes : multiplier par un réel non nul ne change pas la droite : ax+by+c=0  ⟺  λax+λby+λc=0(λ≠0).ax+by+c=0\iff\lambda ax+\lambda by+\lambda c=0\quad(\lambda\ne0).
Méthode — tester l'appartenance d'un point Pour (D):ax+by+c=0(D):ax+by+c=0, calculer axM+byM+cax_M+by_M+c : le résultat est nul   ⟺  M∈(D)\iff M\in(D) ; sinon M∉(D)M\notin(D).

1.8 Déterminer l'équation d'une droite

Méthode — un point et un vecteur directeur Pour (D)(D) passant par A(xA,yA)A(x_A,y_A) et dirigée par u⃗(α,β)\vec u(\alpha,\beta), un point M(x,y)M(x,y) vérifie M∈(D)  ⟺  det⁡(AM→,u⃗)=0M\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0. Comme AM→=(x−xA,y−yA)\overrightarrow{AM}=(x-x_A,y-y_A), on obtient β(x−xA)−α(y−yA)=0.\boxed{\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0.}
Méthode — deux points distincts Pour (AB)(AB) : (1) calculer AB→=(xB−xA,yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A) ; (2) prendre AA comme point et AB→\overrightarrow{AB} comme vecteur directeur ; (3) écrire det⁡(AM→,AB→)=0\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0 ; (4) développer et simplifier par un même facteur non nul ; (5) vérifier que AA et BB satisfont l'équation.
Méthode — cartésienne →\to paramétrique Pour (D):ax+by+c=0(D):ax+by+c=0 : (1) choisir un point A(xA,yA)A(x_A,y_A) vérifiant l'équation ; (2) prendre le vecteur directeur u⃗(−b,a)\vec u(-b,a) ; (3) écrire x=xA−btx=x_A-bt et y=yA+aty=y_A+at, t∈Rt\in\mathbb{R}.

1.9 Équation réduite et représentation graphique

Propriété — équation réduite Si b≠0b\ne0, l'équation ax+by+c=0ax+by+c=0 équivaut à y=mx+p\boxed{y=mx+p} avec m=−abm=-\dfrac ab et p=−cbp=-\dfrac cb. Le réel mm est le coefficient directeur, pp l'ordonnée à l'origine ; un vecteur directeur est (1,m)(1,m).
Propriété — droite passant par deux points Si xA≠xBx_A\ne x_B, le coefficient directeur de (AB)(AB) est m=yB−yAxB−xA\boxed{m=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}, et la droite admet l'équation y−yA=m(x−xA)y-y_A=m(x-x_A).
Propriété — cas particuliers
  • x=kx=k : droite verticale, parallèle à l'axe des ordonnées ;
  • y=ky=k : droite horizontale, parallèle à l'axe des abscisses ;
  • y=mx+py=mx+p n'est jamais une droite verticale.

Exemple. Pour tracer (D):2x+y−4=0(D):2x+y-4=0, on écrit y=−2x+4y=-2x+4. Si x=0x=0, y=4y=4 ; si x=2x=2, y=0y=0. La droite passe par A(0,4)A(0,4) et B(2,0)B(2,0).

1.10 Positions relatives de deux droites

Théorème — critère avec les coefficients Pour (D):ax+by+c=0(D):ax+by+c=0 et (D′):a′x+b′y+c′=0(D'):a'x+b'y+c'=0 : si ab′−a′b≠0ab'-a'b\ne0, les droites sont sécantes ; si ab′−a′b=0ab'-a'b=0, elles sont parallèles ou confondues.
Propriété — distinguer les cas parallèles Lorsque ab′−a′b=0ab'-a'b=0 : si (a,b,c)(a,b,c) et (a′,b′,c′)(a',b',c') sont proportionnels, les droites sont confondues ; sinon elles sont strictement parallèles. On peut aussi tester un point de (D)(D) dans (D′)(D').
Méthode — point d'intersection Si les droites sont sécantes, leur point d'intersection I(x,y)I(x,y) est l'unique solution du système {ax+by+c=0,a′x+b′y+c′=0.\begin{cases}ax+by+c=0,\\a'x+b'y+c'=0.\end{cases} Après résolution, vérifier les coordonnées dans les deux équations.
Ne pas s'arrêter trop tôt ab′−a′b=0ab'-a'b=0 prouve seulement que les droites sont parallèles au sens large. Il faut encore distinguer confondues et strictement parallèles.
L'essentiel du chapitre
  • AB→=(xB−xA,yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,y_B-y_A) et I(xA+xB2,yA+yB2)I\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2}\right).
  • det⁡(u⃗,v⃗)=0\det(\vec u,\vec v)=0 caractérise la colinéarité.
  • Droite par AA dirigée par u⃗(α,β)\vec u(\alpha,\beta) : β(x−xA)−α(y−yA)=0\beta(x-x_A)-\alpha(y-y_A)=0.
  • Pour ax+by+c=0ax+by+c=0, un vecteur directeur est (−b,a)(-b,a).
  • La forme paramétrique fabrique les points ; la forme cartésienne teste vite l'appartenance.
  • ab′−a′b≠0ab'-a'b\ne0 : droites sécantes ; =0=0 : distinguer confondues et strictement parallèles.

2 · Exercices résolus

Équation cartésienne

Exercice 1

Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB)(AB) avec A(1,2)A(1,2) et B(3,−2)B(3,-2).

Voir la correction

A≠BA\ne B, donc AB→=(3−1,−2−2)=(2,−4)\overrightarrow{AB}=(3-1,-2-2)=(2,-4) est un vecteur directeur. Pour M(x,y)M(x,y), AM→=(x−1,y−2)\overrightarrow{AM}=(x-1,y-2), et M∈(AB)  ⟺  det⁡(AM→,AB→)=0.M\in(AB)\iff\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0.

Ce qui donne (x−1)(−4)−2(y−2)=0  ⟺  −4x−2y+8=0.(x-1)(-4)-2(y-2)=0\iff-4x-2y+8=0. En divisant par −2-2 : 2x+y−4=0.\boxed{2x+y-4=0.}

Vérification : 2(1)+2−4=02(1)+2-4=0 et 2(3)+(−2)−4=02(3)+(-2)-4=0. ■\blacksquare

Positions relatives

Exercice 2

Les droites (D):2x−3y+1=0(D):2x-3y+1=0 et (D′):−4x+6y+5=0(D'):-4x+6y+5=0 sont-elles sécantes ?

Voir la correction

Pour (D)(D) : a=2a=2, b=−3b=-3 ; pour (D′)(D') : a′=−4a'=-4, b′=6b'=6. ab′−a′b=2×6−(−4)×(−3)=12−12=0.ab'-a'b=2\times6-(-4)\times(-3)=12-12=0. Les droites ne sont donc pas sécantes.

En multipliant (D)(D) par −2-2 : −4x+6y−2=0-4x+6y-2=0, dont le terme constant −2-2 diffère de celui de (D′)(D'), qui vaut 55. Les coefficients ne sont pas proportionnels.

Ainsi (D)∥(D′) et (D)∩(D′)=∅.\boxed{(D)\parallel(D')\ \text{et}\ (D)\cap(D')=\varnothing.} Réponse : non, elles ne sont pas sécantes. ■\blacksquare

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