Tronc Commun · Sciences · Chapitre 5

L'ordre dans ℝ

Comparer, encadrer, mesurer une erreur : ce chapitre rassemble tout ce qui touche à l'ordre des nombres réels. On y apprend la règle fondamentale — comparer a et b, c'est étudier le signe de a − b — puis comment une inégalité réagit aux opérations : l'addition la conserve, mais multiplier ou diviser par un nombre négatif la renverse (le piège n° 1 de l'année). Vous manipulerez le passage au carré, à la racine et à l'inverse, l'encadrement d'expressions composées, et tout le langage des intervalles (ouverts, fermés, non bornés, avec ∩ et ∪), leur centre c = (a + b)/2 et leur rayon r = (b − a)/2. La seconde moitié est consacrée à la valeur absolue |x|, qui se lit comme une distance : |x − a| est la distance de x à a, ce qui transforme toute inéquation |x − a| ≤ r en un encadrement a − r ≤ x ≤ a + r. On termine avec les valeurs approchées à ε près, l'approximation décimale par défaut/par excès, la troncature et l'arrondi.

1 · Résumé du cours

Comparer deux nombres, encadrer une expression ou mesurer une erreur sont des gestes indispensables en calcul. Ce chapitre rassemble les règles de l'ordre dans $\mathbb{R}$ , le langage des intervalles, la valeur absolue et les méthodes d'approximation décimale.

1.1 Comparer deux nombres réels

Définition Pour deux réels

a

b

a\le b\iff b-a\ge0,\qquad a<b\iff b-a>0.

Comparer

a

b

revient donc à étudier le signe de leur différence.

Propriété — propriétés de l'ordre Pour tous réels

a,b,c

une et une seule des relations $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ est vraie ;
si $a\le b$ et $b\le c$ , alors $a\le c$ (transitivité) ;
si $a\le b$ et $b\le a$ , alors $a=b$ .

Méthode — comparer deux expressions Pour comparer

A

B

: (1) calculer et simplifier

A-B

; (2) déterminer son signe ; (3) conclure :

A-B>0\Rightarrow A>B

, et

A-B<0\Rightarrow A<B

Exemple. Comparons $a^2+b^2$ et $(a+b)^2$ : $(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab$ . Si $ab\ge0$ , alors $(a+b)^2\ge a^2+b^2$ ; si $ab\le0$ , l'inégalité est inversée.

1.2 Ordre et opérations

Propriété — addition et soustraction Pour tous réels

a,b,c

a\le b\iff a+c\le b+c\iff a-c\le b-c.

Ajouter ou soustraire un même nombre conserve le sens de l'inégalité.

Propriété — multiplication et division Si

a\le b

, alors :

pour $c>0$ : $ac\le bc$ et $\dfrac ac\le\dfrac bc$ ;
pour $c<0$ : $ac\ge bc$ et $\dfrac ac\ge\dfrac bc$ ;
pour $c=0$ : $ac=bc=0$ .

Le réflexe indispensable Avant de multiplier ou diviser une inégalité, regarder le signe du nombre utilisé. S'il est négatif, il faut renverser le sens :

-2x\ge6\iff x\le-3

Propriété — additionner des inégalités Si

a\le b

c\le d

, alors

\boxed{a+c\le b+d.}

En revanche, on ne soustrait pas deux inégalités membre à membre : on remplace la soustraction par l'addition de l'opposé.

1.3 Carré, racine carrée et inverse

Propriété Pour

0\le a\le b

a^2\le b^2

\sqrt a\le\sqrt b

. Le carré et la racine carrée conservent l'ordre sur les réels positifs.

Passage au carré De

a\le b

on ne peut pas toujours déduire

a^2\le b^2

: il faut contrôler les signes. Par exemple

-3<-2

mais

(-3)^2>(-2)^2

Propriété — passage à l'inverse Si

a

b

sont de même signe et

0<a\le b

, alors

\boxed{\dfrac1b\le\dfrac1a.}

Sur chacun des intervalles

]-\infty,0[

]0,+\infty[

, le passage à l'inverse renverse l'ordre.

Propriété — comparer

a

a^2

a^3

Pour

a>0

\begin{cases}0<a<1&\Rightarrow a^3<a^2<a,\\ a=1&\Rightarrow a^3=a^2=a,\\ a>1&\Rightarrow a^3>a^2>a.\end{cases}

1.4 Encadrer une expression

Définition Encadrer un réel

x

, c'est trouver deux réels

a

b

tels que

a\le x\le b

. L'amplitude de l'encadrement est

b-a

Propriété — règles d'encadrement Si

a\le x\le b

c\le y\le d

, alors

\boxed{a+c\le x+y\le b+d},\qquad\boxed{a-d\le x-y\le b-c}.

Si de plus

0\le a\le x\le b

0\le c\le y\le d

, alors

\boxed{ac\le xy\le bd}

. Enfin, si

0<a\le x\le b

, alors

\boxed{\dfrac1b\le\dfrac1x\le\dfrac1a}

Méthode — encadrer une expression composée (1) écrire séparément les encadrements disponibles ; (2) appliquer à chaque terme l'opération prévue en surveillant les signes ; (3) additionner les encadrements ; (4) simplifier les bornes et vérifier leur ordre. Pour un quotient, encadrer d'abord l'inverse du dénominateur (qui ne doit pas s'annuler), puis effectuer un produit.

Exemple. Si $1\le x\le3$ et $2\le y\le4$ , alors $2\le2x\le6$ et $-12\le-3y\le-6$ . En additionnant : $\boxed{-10\le2x-3y\le0.}$

1.5 Intervalles de ℝ

Définition Un intervalle est une partie de

\mathbb{R}

sans interruption : dès qu'il contient deux réels, il contient tous les réels situés entre eux. Pour

a<b

$[a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x\le b\}$ ;
$]a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x<b\}$ ;
$[a,b[=\{x\in\mathbb{R}\mid a\le x<b\}$ ;
$]a,b]=\{x\in\mathbb{R}\mid a<x\le b\}$ .

Propriété — intervalles non bornés

[a,+\infty[=\{x\mid x\ge a\}

]a,+\infty[=\{x\mid x>a\}

]-\infty,b]=\{x\mid x\le b\}

]-\infty,b[=\{x\mid x<b\}

, et

\mathbb{R}=]-\infty,+\infty[

. Les symboles

-\infty

+\infty

ne sont pas des nombres : de leur côté, le crochet est toujours ouvert.

Crochet ouvert ou fermé Une inégalité large (

\le

\ge

) inclut la borne : crochet fermé. Une inégalité stricte (

<

>

) exclut la borne : crochet ouvert. De plus

[a,a]=\{a\}

tandis que

]a,a[=\varnothing

1.6 Intersection et réunion d'intervalles

Définition Pour deux ensembles

I

J

I\cap J

contient les éléments appartenant à

I

et à

J

;

I\cup J

contient ceux appartenant à

I

ou à

J

(éventuellement aux deux).

Méthode Tracer les deux intervalles sur une même droite graduée : la partie commune donne l'intersection, toutes les parties coloriées donnent la réunion. Une réunion de deux intervalles disjoints ne s'écrit pas comme un seul intervalle.

Exemple. Pour $I=]-2,4]$ et $J=[1,6[$ : $I\cap J=[1,4]$ et $I\cup J=]-2,6[$ . En revanche $[-3,1]\cup[3,5]$ reste une réunion de deux intervalles séparés.

1.7 Centre, rayon et amplitude d'un intervalle

Définition Pour un intervalle borné d'extrémités

a<b

\boxed{c=\frac{a+b}{2}}\ \text{(centre)},\qquad\boxed{r=\frac{b-a}{2}}\ \text{(rayon)}.

Son amplitude est

b-a=2r

Exemple. L'intervalle $[-3,5]$ a pour centre $c=\dfrac{-3+5}{2}=1$ , pour rayon $r=\dfrac{5-(-3)}{2}=4$ et pour amplitude $8$ .

1.8 Valeur absolue et distance

Définition La valeur absolue d'un réel

x

est

|x|=\begin{cases}x&\text{si }x\ge0,\\-x&\text{si }x<0.\end{cases}

Elle représente la distance de

x

0

. Plus généralement,

|x-y|

est la distance entre

x

y

Propriété — règles de calcul Pour tous réels

x,y

(avec

y\ne0

pour le quotient) :

|x|\ge0,\quad |x|=0\iff x=0,\quad |-x|=|x|,\quad \sqrt{x^2}=|x|,

|xy|=|x|\,|y|,\qquad\left|\frac xy\right|=\frac{|x|}{|y|}.

Théorème — inégalités triangulaires Pour tous réels

x,y

\boxed{|x+y|\le|x|+|y|}\qquad\text{et}\qquad\boxed{\big||x|-|y|\big|\le|x-y|}.

Enlever une valeur absolue Avant de remplacer

|u|

par

u

ou par

-u

, déterminer le signe de

u

u\ge0\Rightarrow|u|=u

u\le0\Rightarrow|u|=-u

1.9 Équations et inéquations avec une valeur absolue

Théorème Pour

r>0

a\in\mathbb{R}

|x-a|=r\iff x=a-r\ \text{ou}\ x=a+r,

\boxed{|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r},

\boxed{|x-a|\ge r\iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r}.

Pour des inégalités strictes, on remplace les signes larges par des signes stricts.

Propriété — intervalle et valeur absolue Pour

r>0

[a-r,a+r]=\{x\mid|x-a|\le r\}

]a-r,a+r[=\{x\mid|x-a|<r\}

. Ces intervalles ont pour centre

a

, rayon

r

et amplitude

2r

Méthode — résoudre avec une valeur absolue Reconnaître d'abord une distance :

|x-a|

est la distance de

x

a

. Une distance inférieure à

r

donne un intervalle centré en

a

; une distance supérieure à

r

donne les deux parties extérieures à cet intervalle.

1.10 Valeurs approchées et précision

Définition Pour

x,a\in\mathbb{R}

\varepsilon>0

, le nombre

a

est une valeur approchée de

x

\varepsilon

près si

\boxed{|x-a|\le\varepsilon.}

Le nombre

|x-a|

est l'erreur absolue, et

|x-a|\le\varepsilon\iff a-\varepsilon\le x\le a+\varepsilon

Définition — par défaut ou par excès

a

est une approximation de

x

\varepsilon

près : par défaut si

a\le x\le a+\varepsilon

; par excès si

a-\varepsilon\le x\le a

Définition — approximation décimale Si

p\in\mathbb{N}

N\in\mathbb{Z}

vérifient

N\times10^{-p}\le x<(N+1)\times10^{-p}

, alors

N\times10^{-p}

est l'approximation décimale par défaut de

x

10^{-p}

près, et

(N+1)\times10^{-p}

celle par excès.

Définition — troncature et arrondi La troncature à

p

décimales supprime toutes les décimales qui suivent la

p

-ième. L'arrondi à

p

décimales est le nombre décimal à

p

décimales le plus proche.

Exemple. Pour $\sqrt3=1{,}7320508\ldots$ : $1{,}732<\sqrt3<1{,}733$ . Donc $1{,}732$ est l'approximation décimale par défaut à $10^{-3}$ près et $1{,}733$ celle par excès. La troncature à trois décimales est $1{,}732$ , et l'arrondi aussi $1{,}732$ .

Contrôler une approximation Ne pas se contenter d'un nombre décimal : toujours préciser la précision et, si possible, écrire un encadrement. L'amplitude de l'encadrement indique directement la qualité de l'approximation.

L'essentiel du chapitre

Comparer $A$ et $B$ revient souvent à étudier le signe de $A-B$ .
Multiplier par un négatif ou passer à l'inverse (sur un intervalle de signe constant) renverse l'ordre.
Pour soustraire deux encadrements : $a-d\le x-y\le b-c$ .
Les symboles $\pm\infty$ ne sont jamais inclus dans un intervalle.
$|x-a|\le r$ décrit l'intervalle de centre $a$ et de rayon $r$ .
Une approximation doit être accompagnée de sa précision ou d'un encadrement.

2 · Exercices résolus

Valeur absolue

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : a) $|x-3|\le2$ ; b) $|2x+1|>5$ .

Voir la correction

a) $|x-3|$ est la distance de $x$ à $3$ , demandée $\le2$ : $|x-3|\le2\iff-2\le x-3\le2\iff1\le x\le5.$ Les bornes sont incluses (inégalité large), donc $\boxed{S_a=[1,5].}$

b) Une valeur absolue strictement $>5$ donne deux cas : $|2x+1|>5\iff 2x+1<-5\ \text{ou}\ 2x+1>5.$ On résout : $2x+1<-5\iff x<-3$ et $2x+1>5\iff x>2$ . L'inégalité est stricte, donc $\boxed{S_b=\;]-\infty,-3[\ \cup\ ]2,+\infty[.}$ $\blacksquare$

Encadrement

Exercice 2

Sachant que $2\le x\le5$ , encadrer $A=3x-4$ puis $B=\dfrac1x$ .

Voir la correction

Encadrement de $A=3x-4$ . Le coefficient $3>0$ conserve le sens : $6\le3x\le15$ . On soustrait $4$ : $6-4\le3x-4\le15-4$ , soit $\boxed{2\le A\le11.}$ ( $x=2\Rightarrow A=2$ , $x=5\Rightarrow A=11$ ).

Encadrement de $B=\dfrac1x$ . Comme $x>0$ , on passe aux inverses en renversant l'ordre : $2\le x\le5\Rightarrow\frac12\ge\frac1x\ge\frac15.$ En rangeant : $\boxed{\dfrac15\le B\le\dfrac12.}$ $\blacksquare$

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 10 questions auto-corrigéesCommencer le QCM