QCM — L'ordre dans ℝ

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Si \(a\le b\), alors pour tout réel \(c\) :

   • ✓\(a+c\le b+c\)
   • B\(a+c\ge b+c\)
   • C\(a\,c\le b\,c\)
   • D\(a-c\ge b-c\)

   Remarque

   Ajouter un même réel aux deux membres conserve l'ordre : \(a\le b\Rightarrow a+c\le b+c\).

2. Question 2

   Si \(a\le b\) et \(c<0\), alors :

   • ✓\(a\,c\ge b\,c\)
   • B\(a\,c\le b\,c\)
   • C\(a\,c=b\,c\)
   • D\(\dfrac{a}{c}\le\dfrac{b}{c}\)

   Remarque

   Multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité : \(a\,c\ge b\,c\).

3. Question 3

   Si \(0<a\le b\), alors :

   • ✓\(\dfrac1a\ge\dfrac1b\)
   • B\(\dfrac1a\le\dfrac1b\)
   • C\(\dfrac1a=\dfrac1b\)
   • D\(a^{2}\ge b^{2}\)

   Remarque

   Le passage à l'inverse (avec des nombres strictement positifs) inverse l'ordre : \(\dfrac1a\ge\dfrac1b\).

4. Question 4

   \(|x|\le 2\) équivaut à :

   • ✓\(-2\le x\le 2\)
   • B\(x\le 2\)
   • C\(x\ge 2\)
   • D\(x\le -2\ \text{ou}\ x\ge 2\)

   Remarque

   \(|x|\le 2\iff -2\le x\le 2\) : distance à \(0\) au plus égale à \(2\).

5. Question 5

   \(|x-3|<1\) équivaut à :

   • ✓\(2<x<4\)
   • B\(x<4\)
   • C\(-1<x<1\)
   • D\(x>3\)

   Remarque

   \(|x-3|<1\iff -1<x-3<1\iff 2<x<4\) (les réels à distance \(<1\) de \(3\)).

6. Question 6

   Si \(2\le x\le 5\), alors \(2x+1\) appartient à :

   • ✓\([5,11]\)
   • B\([4,10]\)
   • C\([3,6]\)
   • D\([2,5]\)

   Remarque

   \(2\le x\le5\Rightarrow 4\le 2x\le 10\Rightarrow 5\le 2x+1\le 11\).

7. Question 7

   L'inégalité triangulaire s'écrit :

   • ✓\(|a+b|\le |a|+|b|\)
   • B\(|a+b|\ge |a|+|b|\)
   • C\(|a+b|=|a|+|b|\) toujours
   • D\(|a+b|=|a|-|b|\)

   Remarque

   Toujours vrai : \(|a+b|\le|a|+|b|\), avec égalité seulement si \(a\) et \(b\) sont de même signe.

8. Question 8

   Pour \(a,b>0\), l'inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique \(\sqrt{ab}\le\dfrac{a+b}{2}\) est :

   • ✓toujours vraie
   • Btoujours fausse
   • Cvraie seulement si \(a=b\)
   • Dvraie seulement si \(a<b\)

   Remarque

   Elle est toujours vraie (elle découle de \((\sqrt a-\sqrt b)^2\ge 0\)), l'égalité ayant lieu ssi \(a=b\).

9. Question 9

   Un réel toujours compris entre \(a\) et \(b\) (avec \(a<b\)) est :

   • ✓\(\dfrac{a+b}{2}\)
   • B\(a\,b\)
   • C\(b-a\)
   • D\(a+b\)

   Remarque

   La moyenne \(\dfrac{a+b}{2}\) est toujours strictement comprise entre \(a\) et \(b\).

10. Question 10

    L'inégalité \(x^{2}\ge 0\) est vraie pour :

    • ✓tout réel \(x\)
    • B\(x\ge 0\) seulement
    • C\(x\le 0\) seulement
    • Daucun \(x\)

    Remarque

    Un carré est toujours positif ou nul : \(x^{2}\ge 0\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).