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L'ordre dans ℝ donne en Tronc Commun Sciences les règles pour comparer, encadrer et manipuler les inégalités. Cette fiche réunit la comparaison par le signe de la différence A − B, les opérations sur les inégalités, les encadrements, les intervalles, la valeur absolue et les valeurs approchées. Le point le plus piégeant est la multiplication par un nombre négatif, qui renverse le sens de l'inégalité. Le réflexe à ancrer : |x − a| ≤ r se lit comme une distance, l'intervalle de centre a et de rayon r.

≤
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

L'ordre dans ℝ — Inégalités, intervalles, valeur absolue

Math Excellence
1 · Comparer & encadrer
Comparaison
a≤b  ⟺  b−a≥0a\le b\iff b-a\ge0
étudier le signe de a−ba-b
Ajout / retrait
a≤b  ⟺  a+c≤b+ca\le b\iff a+c\le b+c
conserve le sens
Multiplier par c>0c>0
a≤b⇒ac≤bca\le b\Rightarrow ac\le bc
conserve le sens
Multiplier par c<0c<0
a≤b⇒ac≥bca\le b\Rightarrow ac\ge bc
renverse le sens
Somme d'encadrements
a+c≤x+y≤b+da+c\le x+y\le b+d
a≤x≤b, c≤y≤da\le x\le b,\ c\le y\le d
Différence
a−d≤x−y≤b−ca-d\le x-y\le b-c
on additionne l'opposé
2 · Méthodes types
Comparer deux expressions
  • calculer et simplifier A−BA-B
  • A−B>0⇒A>BA-B>0\Rightarrow A>B ; A−B<0⇒A<BA-B<0\Rightarrow A<B
(a+b)2−(a2+b2)=2ab(a+b)^2-(a^2+b^2)=2ab
Encadrer une expression
  • partir des encadrements de xx et yy
  • appliquer chaque opération en surveillant les signes, puis additionner
Piège : multiplier par un négatif renverse le sens.
Carré, racine, inverse
  • 0≤a≤b⇒a2≤b20\le a\le b\Rightarrow a^2\le b^2 et a≤b\sqrt a\le\sqrt b
  • 0<a≤b⇒1b≤1a0<a\le b\Rightarrow\dfrac1b\le\dfrac1a (l'inverse renverse)
−3<−2-3<-2 mais (−3)2>(−2)2(-3)^2>(-2)^2
Valeur approchée
  • aa valeur approchée de xx à ε\varepsilon près   ⟺  ∣x−a∣≤ε\iff|x-a|\le\varepsilon
  • par défaut : a≤xa\le x ; par excès : x≤ax\le a
troncature / arrondi à pp décimales
3 · Formules & réflexes
[a,b][a,b] : a≤x≤ba\le x\le b (bornes incluses)
]a,b[]a,b[ : a<x<ba<x<b (bornes exclues)
±∞\pm\infty : crochet toujours ouvert
centre c=a+b2c=\dfrac{a+b}2, rayon r=b−a2r=\dfrac{b-a}2
∣x∣=x2≥0|x|=\sqrt{x^2}\ge0
∣xy∣=∣x∣ ∣y∣|xy|=|x|\,|y|
∣x+y∣≤∣x∣+∣y∣|x+y|\le|x|+|y|
I∩JI\cap J : « et »  ;  I∪JI\cup J : « ou »
4 · Valeur absolue & distances
Définition & distance
  • ∣x∣=x|x|=x si x≥0x\ge0, ∣x∣=−x|x|=-x si x<0x<0
  • ∣x−y∣|x-y| = distance entre xx et yy
Réflexe : x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|, pas xx.
Équation ∣x−a∣=r|x-a|=r
  • pour r>0r>0 : x=a−rx=a-r ou x=a+rx=a+r
  • les deux points à distance rr de aa
Inéquation ∣x−a∣≤r|x-a|\le r
  • ∣x−a∣≤r  ⟺  a−r≤x≤a+r|x-a|\le r\iff a-r\le x\le a+r  (intervalle centré)
  • ∣x−a∣≥r  ⟺  x≤a−r ou x≥a+r|x-a|\ge r\iff x\le a-r\ \text{ou}\ x\ge a+r
∣x−3∣≤2  ⟺  x∈[1,5]|x-3|\le2\iff x\in[1,5]
Enlever une valeur absolue
  • déterminer d'abord le signe de uu
  • u≥0⇒∣u∣=uu\ge0\Rightarrow|u|=u ; u≤0⇒∣u∣=−uu\le0\Rightarrow|u|=-u
★ Astuces géniales
  • Le réflexe n°1 : multiplier ou diviser par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.
  • Comparer, c'est presque toujours étudier le signe de la différence A−BA-B.
  • ∣x−a∣≤r|x-a|\le r se lit comme une distance : l'intervalle de centre aa et de rayon rr.
  • Une approximation ne vaut rien sans sa précision : donner ε\varepsilon ou un encadrement.
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