Fiche de révision — La projection dans le plan · Tronc Commun Sciences

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La projection dans le plan est en Tronc Commun Sciences la transformation qui envoie un point sur une droite selon une direction donnée. Cette fiche réunit la définition du projeté (sur le support et parallèle à la direction), les points invariants, la conservation des rapports et des milieux, et surtout le théorème de Thalès, direct et réciproque. L'idée forte est que la projection conserve les rapports mais pas les distances : c'est exactement ce qui démontre Thalès. Le réflexe pour la réciproque : vérifier l'égalité des rapports ET le même ordre des points avant de conclure au parallélisme.

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Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

La projection dans le plan — Projeté, Thalès, conservation des rapports

Math Excellence

1 · Définition & propriétés

Projeté

p(M)=M'

M'\in(D)

(MM')\parallel(\Delta)

support

(D)

, direction

(\Delta)

Points invariants

p(M)=M\iff M\in(D)

p(p(M))=p(M)

Même projeté

M,N\mapsto

même point

\iff(MN)\parallel(\Delta)

une parallèle → un point

Orthogonale

(D)\perp(\Delta)

sinon : oblique

Conserve

alignement, rapports, milieux

pas les longueurs ni les angles

Coefficient

\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}

k

conservé

2 · Le théorème de Thalès

Thalès direct

$M\in(AB)$ , $N\in(AC)$ , $(MN)\parallel(BC)$
$\Rightarrow\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}$

parallélisme connu

\Rightarrow

longueurs

Réciproque de Thalès

$\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}$ et même ordre des points
$\Rightarrow(MN)\parallel(BC)$

Hypothèse clé : l'ordre des points est indispensable.

Calculer une longueur

identifier droites sécantes + droites parallèles
écrire les rapports dans le même ordre, produit en croix

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\Rightarrow

une inconnue

Direct ou réciproque ?

direct : parallélisme $\to$ rapports / longueurs
réciproque : rapports égaux $\to$ parallélisme

3 · Formules & réflexes

p(M)=M'

M'\in(D)

(MM')\parallel(\Delta)

M\in(D)\Rightarrow p(M)=M

orthogonale :

(D)\perp(\Delta)

Thalès :

\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}

réciproque : rapports égaux + même ordre

\overrightarrow{CD}=k\overrightarrow{AB}\Rightarrow\overrightarrow{C'D'}=k\overrightarrow{A'B'}

milieu

\to

milieu (si

A'\neq B'

)

conserve les rapports, pas les distances

4 · Transporter une relation par projection

Conservation du coefficient

écrire la relation $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ avant projection
garder le même $k$ après : $\overrightarrow{A'C'}=k\overrightarrow{A'B'}$

Conservation du milieu

$I$ milieu de $[AB]\Rightarrow\overrightarrow{A'I'}=\tfrac12\overrightarrow{A'B'}$
donc $I'$ milieu de $[A'B']$ (si $A'\neq B'$ )

Repère oblique

projeter $M$ sur chaque axe selon l'autre direction
$\overrightarrow{OM}=x\,\overrightarrow{OA}+y\,\overrightarrow{OB}$

x,y

= coordonnées dans

(O,\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB})

Contrôles utiles

un projeté appartient toujours au support
$(M M')$ est parallèle à la direction choisie

★ Astuces géniales

Un projeté, c'est deux conditions : sur le support et parallèle à la direction — jamais une seule.
La projection conserve les rapports mais pas les distances : c'est ce qui démontre Thalès.
Direct = parallélisme → longueurs ; réciproque = rapports égaux → parallélisme. Ne pas les confondre.
Le coefficient $k$ de $\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AB}$ traverse la projection intact : milieux et alignements se transportent.

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