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Le calcul vectoriel dans le plan installe en Tronc Commun Sciences un langage géométrique puissant, indépendant des coordonnées. Cette fiche réunit la relation de Chasles, l'égalité de vecteurs, la multiplication par un réel, la colinéarité, le milieu, l'alignement et le passage aux coordonnées avec le déterminant xy′ − yx′. L'outil roi est le déterminant : il teste d'un coup la colinéarité de deux vecteurs, l'alignement de trois points et le parallélisme de deux droites. Le réflexe de Chasles : insérer un point pour réduire ou décomposer une chaîne de vecteurs.

u⃗
Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Calcul vectoriel dans le plan — Chasles, colinéarité, coordonnées

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1 · Vecteurs & opérations
Relation de Chasles
AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
enchaîner les déplacements
Égalité
AB→=DC→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}
ABCDABCD parallélogramme
Multiplication par kk
∥ku⃗∥=∣k∣ ∥u⃗∥\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|
signe de kk = sens
Colinéarité
v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u
même direction
Milieu II de [AB][AB]
IA→+IB→=0⃗\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=\vec0
AI→=12AB→\overrightarrow{AI}=\tfrac12\overrightarrow{AB}
Vecteur nul
AB→=0⃗  ⟺  A=B\overrightarrow{AB}=\vec0\iff A=B
BA→=−AB→\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}
2 · Colinéarité, alignement & milieux
Alignement & parallélisme
  • A,B,CA,B,C alignés   ⟺  AB→,AC→\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} colinéaires
  • (AB)∥(CD)  ⟺  AB→,CD→(AB)\parallel(CD)\iff\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD} colinéaires
Exploiter Chasles
  • insérer un point : AB→=AM→+MB→\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MB}
  • réduire une chaîne AB→+BC→+CD→=AD→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}
Relations du milieu
  • MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} (MM quelconque)
  • KK milieu de [BC]⇒AB→+AC→=2AK→[BC]\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AK}
Théorème des milieux
  • I,JI,J milieux de [AB],[AC]⇒IJ→=12BC→[AB],[AC]\Rightarrow\overrightarrow{IJ}=\tfrac12\overrightarrow{BC}
  • donc (IJ)∥(BC)(IJ)\parallel(BC) et IJ=12BCIJ=\tfrac12BC
3 · Formules & réflexes
Chasles : AB→+BC→=AC→\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}
colinéaires : v⃗=ku⃗\vec v=k\vec u
AB→(xB−xA, yB−yA)\overrightarrow{AB}(x_B-x_A,\ y_B-y_A)
u⃗+v⃗=(x+x′,y+y′)\vec u+\vec v=(x+x',y+y')
ku⃗=(kx,ky)k\vec u=(kx,ky)
det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'
milieu = moyenne des coordonnées
AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
4 · Dans un repère
Coordonnées
  • AB→=(xB−xA, yB−yA)\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)
  • tout se calcule coordonnée par coordonnée
u⃗=v⃗  ⟺  x=x′\vec u=\vec v\iff x=x' et y=y′y=y'
Déterminant & colinéarité
  • det⁡(u⃗,v⃗)=xy′−yx′\det(\vec u,\vec v)=xy'-yx'
  • =0  ⟺  u⃗,v⃗=0\iff\vec u,\vec v colinéaires
A,B,CA,B,C alignés   ⟺  det⁡(AB→,AC→)=0\iff\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=0
Point par relation vectorielle
  • poser M(x,y)M(x,y), écrire les coordonnées de chaque vecteur
  • identifier abscisses et ordonnées
AM→=3AB→⇒\overrightarrow{AM}=3\overrightarrow{AB}\Rightarrow système en x,yx,y
Norme & distance (orthonormé)
  • ∥u⃗∥=x2+y2\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2}
  • AB=(xB−xA)2+(yB−yA)2AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}
Attention : distance valable seulement en repère orthonormé.
★ Astuces géniales
  • Un vecteur n'a pas de position fixe : seules direction, sens et norme comptent.
  • Chasles est le couteau suisse : insérer un point, réduire une chaîne, tout démontrer sans coordonnées.
  • Le déterminant teste d'un coup colinéarité, alignement de 3 points et parallélisme de 2 droites.
  • Milieu : MA→+MB→=2MI→\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI} transforme une somme en un seul vecteur.
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