QCM — Calcul vectoriel dans le plan

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   La relation de Chasles s'écrit :

   • ✓\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
   • B\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}\)
   • C\(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\)
   • D\(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}\)

   Remarque

   On enchaîne les vecteurs : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (le point d'arrivée du premier est le départ du second).

2. Question 2

   \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}\) est égal à :

   • A\(2\,\overrightarrow{AB}\)
   • ✓\(\vec{0}\)
   • C\(\overrightarrow{AB}\)
   • D\(\overrightarrow{BA}\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BA}=\vec{0}\).

3. Question 3

   Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires lorsqu'il existe un réel \(k\) tel que :

   • ✓\(\vec{u}=k\,\vec{v}\)
   • B\(\vec{u}=\vec{v}\)
   • C\(\vec{u}+\vec{v}=\vec{0}\)
   • D\(\|\vec{u}\|=\|\vec{v}\|\)

   Remarque

   La colinéarité s'écrit \(\vec{u}=k\,\vec{v}\) : les deux vecteurs ont la même direction.

4. Question 4

   \(ABCD\) est un parallélogramme si et seulement si :

   • ✓\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\)
   • B\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CD}\)
   • C\(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BD}\)
   • D\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}\)

   Remarque

   \(ABCD\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\) (côtés opposés parallèles et de même longueur).

5. Question 5

   Si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors :

   • ✓\(\overrightarrow{AI}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)
   • B\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{AB}\)
   • C\(\overrightarrow{AI}=2\,\overrightarrow{AB}\)
   • D\(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{BA}\)

   Remarque

   Le milieu vérifie \(\overrightarrow{AI}=\tfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\) (et aussi \(\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{BI}=\vec 0\)).

6. Question 6

   Si \(\vec{u}(x,y)\) et \(\vec{v}(x',y')\), les coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\) sont :

   • ✓\((x+x',\ y+y')\)
   • B\((x\,x',\ y\,y')\)
   • C\((x+y,\ x'+y')\)
   • D\((x-x',\ y-y')\)

   Remarque

   On additionne coordonnée par coordonnée : \(\vec{u}+\vec{v}=(x+x',\,y+y')\).

7. Question 7

   Si \(A(x_A,y_A)\) et \(B(x_B,y_B)\), les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) sont :

   • ✓\((x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
   • B\((x_A-x_B,\ y_A-y_B)\)
   • C\((x_A+x_B,\ y_A+y_B)\)
   • D\((x_B,\ y_B)\)

   Remarque

   \(\overrightarrow{AB}=(x_B-x_A,\ y_B-y_A)\) : coordonnées de l'arrivée moins celles du départ.

8. Question 8

   Les vecteurs \(\vec{u}(2,3)\) et \(\vec{v}(4,6)\) sont :

   • ✓colinéaires
   • Borthogonaux
   • Copposés
   • Dde directions différentes

   Remarque

   \(\vec{v}=2\,\vec{u}\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (on peut aussi vérifier \(2\times 6-3\times 4=0\)).

9. Question 9

   Les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) sont :

   • ✓\(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2},\ \dfrac{y_A+y_B}{2}\right)\)
   • B\((x_B-x_A,\ y_B-y_A)\)
   • C\((x_A\,x_B,\ y_A\,y_B)\)
   • D\(\left(\dfrac{x_A-x_B}{2},\ \dfrac{y_A-y_B}{2}\right)\)

   Remarque

   Le milieu a pour coordonnées la moyenne des coordonnées de \(A\) et \(B\).

10. Question 10

    Si \(\vec{u}(x,y)\), les coordonnées de \(k\,\vec{u}\) sont :

    • ✓\((k\,x,\ k\,y)\)
    • B\((x+k,\ y+k)\)
    • C\((k\,x,\ y)\)
    • D\(\left(\dfrac{x}{k},\ \dfrac{y}{k}\right)\)

    Remarque

    Multiplier un vecteur par un réel multiplie chaque coordonnée : \(k\,\vec{u}=(k\,x,\ k\,y)\).