Fiche de révision — Arithmétique dans ℕ · Tronc Commun Sciences

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L'arithmétique dans ℕ apprend en Tronc Commun Sciences à raisonner sur les entiers naturels : parité, divisibilité, nombres premiers, PGCD et PPCM. Cette fiche réunit la division euclidienne, les critères de divisibilité, la décomposition en facteurs premiers, le test de primalité jusqu'à √n et le calcul du PGCD par l'algorithme d'Euclide. L'objectif à ce stade est de manipuler les entiers avec méthode, pas encore les congruences. Le réflexe qui simplifie une fraction : la décomposer en facteurs premiers pour la rendre irréductible.

ℤ

Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Arithmétique dans ℕ — Divisibilité, nombres premiers, PGCD & PPCM

Math Excellence

1 · Notions de base

Pair / impair

n=2k

n=2k+1

k\in\mathbb{N}

Divisibilité

d\mid a\iff a=d\,k

a

multiple de

d

Division euclidienne

a=bq+r,\ \ 0\le r<b

couple

(q,r)

unique

Nombre premier

p\ge2

, diviseurs

1

p

2,3,5,7,11,\ldots

Décomposition

n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_s^{\alpha_s}

unique (ordre près)

Premiers entre eux

\operatorname{pgcd}(a,b)=1

aucun diviseur commun

>1

2 · Méthodes types

Étudier une parité

remplacer un pair par $2k$ , un impair par $2k+1$
développer pour faire réapparaître $2k'$ ou $2k'+1$

produit de 2 entiers consécutifs

n(n+1)

: toujours pair

Tester si

n

est premier

tester la division par les premiers $p\le\sqrt n$
aucun ne divise $\Rightarrow$ premier ; sinon composé

97

: tester

2,3,5,7

\Rightarrow

premier

Décomposer en facteurs premiers

diviser par $2$ , puis $3$ , $5$ , $7$ … jusqu'au quotient $1$
regrouper les facteurs identiques en puissances

1344=2^{6}\times3\times7

Critères de divisibilité

par $2$ / $5$ : chiffre des unités
par $3$ / $9$ : somme des chiffres
par $4$ : deux derniers chiffres ; par $8$ : trois derniers

3 · Formules & réflexes

d\mid a\iff

reste nul dans

a=bq+r

d\mid a

d\mid b\Rightarrow d\mid(a+b)

d\mid a

a\mid b\Rightarrow d\mid b

PGCD : facteurs communs, plus petits exposants

PPCM : tous les facteurs, plus grands exposants

\operatorname{pgcd}(a,b)\times\operatorname{ppcm}(a,b)=ab

Euclide :

\operatorname{pgcd}(a,b)=\operatorname{pgcd}(b,r)

1

divise tout ;

0

multiple de tout

4 · PGCD, PPCM & fractions

PGCD par décomposition

facteurs premiers communs, plus petit exposant
$120=2^{3}3\cdot5,\ 1764=2^{2}3^{2}7^{2}\Rightarrow\operatorname{pgcd}=2^{2}\cdot3=12$

Algorithme d'Euclide

divisions successives : $a=bq+r$ , puis $b=rq'+r'$ …
PGCD = dernier reste non nul

\operatorname{pgcd}(1053,325)=13

PPCM

tous les facteurs, plus grand exposant
ou $\operatorname{ppcm}(a,b)=\dfrac{ab}{\operatorname{pgcd}(a,b)}$

\operatorname{ppcm}(120,1764)=2^{3}3^{2}5\cdot7^{2}=17640

Fraction irréductible

$d=\operatorname{pgcd}(a,b)$ , puis $\dfrac ab=\dfrac{a\div d}{b\div d}$
irréductible $\iff$ numérateur et dénominateur premiers entre eux

\dfrac{360}{84}=\dfrac{30}{7}

(car

\operatorname{pgcd}=12

)

★ Astuces géniales

La décomposition en facteurs premiers est la clé : elle donne PGCD, PPCM et le caractère irréductible d'une fraction d'un coup.
Pour tester un premier, on s'arrête à $\sqrt n$ — inutile d'aller plus loin.
Deux entiers consécutifs : l'un est pair — utilisé partout dans les preuves de divisibilité.
Contrôle final : $\operatorname{pgcd}\times\operatorname{ppcm}=ab$ doit toujours se vérifier.

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