QCM — Arithmétique dans ℕ

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   « \(a\) divise \(b\) » signifie qu'il existe \(k\in\mathbb{N}\) tel que :

   • ✓\(b=k\,a\)
   • B\(a<b\)
   • C\(b=a+k\)
   • D\(a=b+k\)

   Remarque

   \(a\mid b\) signifie que \(b\) est un multiple de \(a\) : \(b=k\,a\) pour un certain entier \(k\).

2. Question 2

   Un nombre premier possède exactement :

   • A\(1\) diviseur
   • ✓\(2\) diviseurs (\(1\) et lui-même)
   • C\(3\) diviseurs
   • Daucun diviseur

   Remarque

   Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts : \(1\) et lui-même.

3. Question 3

   Le plus petit nombre premier est :

   • A\(0\)
   • B\(1\)
   • ✓\(2\)
   • D\(3\)

   Remarque

   \(2\) est le plus petit nombre premier (et le seul qui soit pair). \(1\) n'est pas premier.

4. Question 4

   Le nombre \(1\) est :

   • Apremier
   • ✓ni premier ni composé
   • Ccomposé
   • Dle plus petit premier

   Remarque

   \(1\) n'a qu'un seul diviseur : il n'est ni premier (qui en exige deux) ni composé.

5. Question 5

   Parmi ces nombres, lequel est premier ?

   • A\(51\)
   • B\(57\)
   • ✓\(53\)
   • D\(91\)

   Remarque

   \(51=3\times 17\), \(57=3\times 19\), \(91=7\times 13\) ; seul \(53\) n'a pas de diviseur autre que \(1\) et lui-même.

6. Question 6

   Un entier est divisible par \(3\) lorsque :

   • Ason dernier chiffre est pair
   • ✓la somme de ses chiffres est divisible par \(3\)
   • Cson dernier chiffre est \(0\) ou \(5\)
   • Dil se termine par \(3\)

   Remarque

   Critère de divisibilité par \(3\) : la somme des chiffres doit être divisible par \(3\) (ex. \(57\to 5+7=12\)).

7. Question 7

   La décomposition de \(60\) en facteurs premiers est :

   • ✓\(2^{2}\times 3\times 5\)
   • B\(2\times 3\times 5\)
   • C\(2^{3}\times 15\)
   • D\(6\times 10\)

   Remarque

   \(60=4\times 15=2^{2}\times 3\times 5\). Une décomposition n'utilise que des facteurs premiers.

8. Question 8

   \(\mathrm{PGCD}(12,18)\) vaut :

   • ✓\(6\)
   • B\(36\)
   • C\(2\)
   • D\(3\)

   Remarque

   Diviseurs communs de \(12\) et \(18\) : \(1,2,3,6\) ; le plus grand est \(6\).

9. Question 9

   \(\mathrm{PPCM}(4,6)\) vaut :

   • A\(24\)
   • ✓\(12\)
   • C\(2\)
   • D\(10\)

   Remarque

   Multiples communs de \(4\) et \(6\) : \(12,24,\ldots\) ; le plus petit est \(12\).

10. Question 10

    Pour deux entiers \(a,b\), on a toujours :

    • ✓\(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=a\times b\)
    • B\(\mathrm{PGCD}(a,b)+\mathrm{PPCM}(a,b)=a+b\)
    • C\(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=a+b\)
    • D\(\mathrm{PPCM}(a,b)=a\times b\) toujours

    Remarque

    Relation fondamentale : \(\mathrm{PGCD}(a,b)\times\mathrm{PPCM}(a,b)=a\,b\).