Fiche de révision — Les ensembles de nombres · Tronc Commun Sciences

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Les ensembles de nombres ouvrent le programme de Tronc Commun Sciences en organisant ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ et ℝ selon la chaîne d'inclusions ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ. Cette fiche réunit la reconnaissance d'un nombre (décimal, rationnel, irrationnel comme √2), les règles sur les puissances, les racines carrées avec √(x²) = |x|, la rationalisation par la quantité conjuguée et les identités remarquables. À ce niveau, l'enjeu est de savoir dans quel ensemble « vit » un nombre avant de calculer. Le réflexe utile : un nombre est décimal seulement si son dénominateur irréductible s'écrit 2^p × 5^q.

ℝ

Fiche de révision · Tronc Commun Sciences

Les ensembles de nombres — De ℕ à ℝ, puissances & racines

Math Excellence

1 · Les ensembles & leurs inclusions

Entiers naturels

\mathbb{N}=\{0,1,2,\ldots\}

\mathbb{N}^{*}=\mathbb{N}\setminus\{0\}

Entiers relatifs

\mathbb{Z}=\{\ldots,-1,0,1,\ldots\}

les naturels et leurs opposés

Décimaux

\mathbb{D}=\big\{\tfrac{a}{10^{p}}\ ,\ a\in\mathbb{Z},\ p\in\mathbb{N}\big\}

écriture décimale finie

Rationnels

\mathbb{Q}=\big\{\tfrac{a}{b}\ ,\ a\in\mathbb{Z},\ b\in\mathbb{Z}^{*}\big\}

quotient de deux entiers

Réels

\mathbb{R}

rationnels + irrationnels (

\sqrt2,\pi

)

Chaîne d'inclusions

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

chacun contient le précédent

2 · Reconnaître un nombre

Décimal ?

rendre la fraction irréductible $\dfrac ab$
décimal $\iff b=2^{p}\times5^{q}$ (que des $2$ et des $5$ )

\tfrac{7}{40}=\tfrac{7}{2^3\cdot5}

décimal ;

\tfrac13

non

Rationnel ?

écriture décimale finie ou périodique $\Rightarrow$ rationnel
écriture infinie non périodique $\Rightarrow$ irrationnel

0{,}1666\ldots=\tfrac16

;

\sqrt2

irrationnel

\sqrt2

est irrationnel

preuve par l'absurde : supposer $\sqrt2=\tfrac ab$ irréductible
on aboutit à $a$ et $b$ tous deux pairs : contradiction

Opérations sur les fractions

$\dfrac ab+\dfrac cd=\dfrac{ad+bc}{bd}$ ; $\dfrac ab\times\dfrac cd=\dfrac{ac}{bd}$
$\dfrac ab\div\dfrac cd=\dfrac ab\times\dfrac dc$ (multiplier par l'inverse)

3 · Formules & réflexes

a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}

\dfrac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}

(a^{m})^{n}=a^{mn}

(ab)^{n}=a^{n}b^{n}

a^{-n}=\dfrac1{a^{n}}

a^{0}=1

\sqrt{x^{2}}=|x|

\sqrt a\,\sqrt b=\sqrt{ab}

(a,b\ge0)

écriture scientifique :

a\times10^{n}

1\le a<10

4 · Racines & identités remarquables

Racine carrée

$\sqrt{x^{2}}=|x|$ (jamais $x$ sans précaution de signe)
$x^{2}=a\ (a>0)\iff x=\sqrt a\ \text{ou}\ x=-\sqrt a$

Piège :

\sqrt{a+b}\neq\sqrt a+\sqrt b

Rationaliser (conjugué)

multiplier haut et bas par le conjugué
$\dfrac{1}{\sqrt a-\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a+\sqrt b}{a-b}$

\dfrac{1}{\sqrt3-1}=\dfrac{\sqrt3+1}{2}

Identités — 2ᵉ degré

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$
$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Identités — 3ᵉ degré

$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$
$a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$
$a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})$

★ Astuces géniales

Pour classer un nombre, on descend la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ : le plus petit ensemble qui le contient le caractérise.
Fraction décimale $\iff$ dénominateur irréductible de la forme $2^{p}5^{q}$ .
$\sqrt{x^{2}}=|x|$ : la valeur absolue est le réflexe qui évite les erreurs de signe.
Une racine au dénominateur se chasse en multipliant par le conjugué.

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