QCM — Les ensembles de nombres

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Quelle chaîne d'inclusions est correcte ?

   • ✓\(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)
   • B\(\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\)
   • C\(\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\)
   • D\(\mathbb{Q}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{R}\)

   Remarque

   Chaque ensemble contient le précédent : \(\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\).

2. Question 2

   Le nombre \(\sqrt{2}\) est :

   • Aun entier
   • Bun décimal
   • Cun rationnel
   • ✓un irrationnel

   Remarque

   \(\sqrt{2}\) ne peut pas s'écrire comme une fraction d'entiers : c'est un nombre irrationnel (élément de \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\)).

3. Question 3

   Un nombre rationnel est un nombre qui s'écrit :

   • ✓\(\dfrac{a}{b}\) avec \(a,b\in\mathbb{Z}\) et \(b\neq 0\)
   • B\(\dfrac{a}{b}\) avec \(a,b\in\mathbb{R}\)
   • Ctoujours sous forme décimale
   • D\(\sqrt{a}\) avec \(a\in\mathbb{N}\)

   Remarque

   Un rationnel est un quotient de deux entiers, le dénominateur étant non nul : \(\dfrac{a}{b}\), \(a,b\in\mathbb{Z}\), \(b\neq 0\).

4. Question 4

   Parmi ces nombres, lequel n'est pas un décimal ?

   • A\(\dfrac{1}{2}\)
   • B\(\dfrac{1}{4}\)
   • ✓\(\dfrac{1}{3}\)
   • D\(\dfrac{3}{10}\)

   Remarque

   \(\dfrac{1}{3}=0{,}333\ldots\) a un développement décimal illimité : ce n'est pas un décimal. Les autres se terminent (\(0{,}5\ ;\ 0{,}25\ ;\ 0{,}3\)).

5. Question 5

   \(|-7|\) vaut :

   • A\(-7\)
   • ✓\(7\)
   • C\(0\)
   • D\(14\)

   Remarque

   La valeur absolue est toujours positive : \(|-7|=7\). Elle mesure la distance à zéro.

6. Question 6

   L'inéquation \(|x|<3\) équivaut à :

   • A\(x<3\)
   • B\(x>-3\)
   • ✓\(-3<x<3\)
   • D\(x<-3\ \text{ou}\ x>3\)

   Remarque

   \(|x|<3\) signifie « distance à 0 inférieure à 3 », soit \(-3<x<3\).

7. Question 7

   Pour tout réel \(a\), \(\sqrt{a^{2}}\) vaut :

   • A\(a\)
   • ✓\(|a|\)
   • C\(a^{2}\)
   • D\(\pm a\)

   Remarque

   \(\sqrt{a^{2}}=|a|\) : la racine est positive, alors que \(a\) peut être négatif (ex. \(\sqrt{(-3)^2}=3\)).

8. Question 8

   L'intervalle \([2,5[\) contient :

   • ✓\(2\) mais pas \(5\)
   • B\(5\) mais pas \(2\)
   • Cni \(2\) ni \(5\)
   • D\(2\) et \(5\)

   Remarque

   Le crochet fermé en \(2\) l'inclut, le crochet ouvert en \(5\) l'exclut : \(2\in[2,5[\) et \(5\notin[2,5[\).

9. Question 9

   \(2^{3}\times 2^{2}\) est égal à :

   • ✓\(2^{5}\)
   • B\(2^{6}\)
   • C\(4^{5}\)
   • D\(2^{1}\)

   Remarque

   On additionne les exposants : \(a^{n}\times a^{m}=a^{n+m}\), donc \(2^{3}\times 2^{2}=2^{5}=32\).

10. Question 10

    \(\sqrt{12}\) s'écrit sous forme simplifiée :

    • ✓\(2\sqrt{3}\)
    • B\(3\sqrt{2}\)
    • C\(4\sqrt{3}\)
    • D\(6\)

    Remarque

    \(\sqrt{12}=\sqrt{4\times 3}=\sqrt{4}\,\sqrt{3}=2\sqrt{3}\).