2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 5

Limite d'une suite numérique

Les suites numériques sont un terrain d'entraînement idéal pour le raisonnement rigoureux. Ce cours présente les outils essentiels : monotonie, majoration et minoration, limites de référence, théorème des gendarmes et étude des suites récurrentes du type uₙ₊₁ = f(uₙ). Vous apprendrez à démontrer une propriété par récurrence, à prouver qu'une suite converge et à identifier sa limite comme un point fixe ℓ = f(ℓ). En Sciences Expérimentales, l'exercice de suites suit un scénario très reconnaissable ; une fois la méthode acquise, il devient l'un des plus sûrs du sujet. Ce cours vous en donne le fil conducteur, étape par étape.

1 · Résumé du cours

Une suite n'est qu'une fonction dont la variable est un entier : tout ce que vous savez sur les limites s'applique encore. Ce qui change, c'est la façon de raisonner — on ne calcule pas toujours la limite, on la prouve par comparaison, par monotonie, souvent par récurrence.

1.1 Rappels : suites de référence

Arithmétique & géométrique

Arithmétique de raison $r$ : $u_{n+1}=u_n+r$ , donc $u_n=u_0+nr=u_p+(n-p)r$ .
Géométrique de raison $q$ : $u_{n+1}=q\,u_n$ , donc $u_n=u_0\,q^{n}=u_p\,q^{n-p}$ .

Somme de termes consécutifs

\sum_{k=p}^{n}u_k=(\text{nb de termes})\times\frac{\text{premier}+\text{dernier}}{2}\quad(\text{arithm.}),\qquad \sum_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},

\sum_{k=p}^{n}u_k=(\text{premier})\times\frac{1-q^{\,\text{nb}}}{1-q}\quad(\text{géom., } q\neq1),\qquad \sum_{k=0}^{n}q^{k}=\frac{1-q^{\,n+1}}{1-q}.

Compter les termes Le piège classique : le nombre de termes de

u_p+\dots+u_n

est

n-p+1

(et non

n-p

). Une fois ce compte fait, tout se retient en une phrase : « nombre de termes × moyenne des extrêmes » (arithm.) et « premier ×

\tfrac{1-q^{\text{nb}}}{1-q}

» (géom.).

1.2 Monotonie & bornes

Définitions

(u_n)

est croissante si

u_{n+1}\ge u_n

, décroissante si

u_{n+1}\le u_n

. Elle est majorée (resp. minorée) s'il existe

M

tel que

u_n\le M

(resp.

m\le u_n

) ; bornée si les deux.

Méthode — étudier la monotonie ① signe de

u_{n+1}-u_n

(la plus courante) ; ② si

u_n>0

, comparer

\tfrac{u_{n+1}}{u_n}

1

; ③ si

u_n=f(n)

, étudier les variations de

f

sur

[0,+\infty[

1.3 Convergence & divergence

Définitions

(u_n)

converge vers

\ell

u_n

devient aussi proche que l'on veut de

\ell

dès que

n

est assez grand. Elle diverge sinon — soit vers

\pm\infty

, soit sans aucune limite. Si une suite converge, sa limite est unique, et toute suite convergente est bornée.

Bornée n'implique pas convergente Contre-exemple à retenir :

u_n=(-1)^{n}

oscille entre

-1

1

sans se stabiliser — elle est bornée mais divergente. « Divergente » ne veut donc pas dire « infinie ».

1.4 Limites de référence & opérations

À connaître

\lim_{n\to+\infty}\frac1{n^{\alpha}}=0\ (\alpha>0),\qquad \lim_{n\to+\infty}n^{\alpha}=+\infty\ (\alpha>0),\qquad \lim_{n\to+\infty}\sqrt n=+\infty,

\lim_{n\to+\infty}q^{n}=\begin{cases}0 & \text{si }|q|&lt;1\\ 1 & \text{si }q=1\\ +\infty & \text{si }q>1\\ \text{pas de limite} & \text{si }q\le-1\end{cases}

C'est

|q|

qui décide de la convergence vers

0

; le signe de

q

ne fait qu'alterner les termes.

Formes indéterminées : rien de nouveau Les opérations et les quatre F.I. (

\tfrac{\infty}{\infty}

\tfrac00

\infty-\infty

0\times\infty

) sont celles des fonctions. Mêmes méthodes : factoriser le terme dominant, utiliser la quantité conjuguée. Ex.

\dfrac{3n+2}{n-1}=\dfrac{3+\frac2n}{1-\frac1n}\to3

1.5 Critères de convergence

Le cœur du chapitre : prouver qu'une limite existe, même sans savoir la calculer.

Encadrement, comparaison, monotonie

Gendarmes : si $a_n\le u_n\le b_n$ (à partir d'un rang) et $\lim a_n=\lim b_n=\ell$ , alors $\lim u_n=\ell$ .
Comparaison : si $u_n\ge v_n$ et $\lim v_n=+\infty$ , alors $\lim u_n=+\infty$ (et symétriquement vers $-\infty$ ).
Convergence monotone : toute suite croissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.

Le déclencheur : un sinus ou un cosinus Dès que vous voyez

\sin n

\cos n

(-1)^n

: pensez gendarmes. On ne sait pas calculer

\sin n

, mais

-1\le\sin n\le1

— c'est le point de départ. Attention : le théorème de convergence monotone prouve que la limite existe, mais ne la donne pas (et

\ell\le M

, pas forcément

\ell=M

1.6 Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

La limite est un point fixe Si

\lim u_n=a

f

est continue en

a

, alors

\lim f(u_n)=f(a)

. En particulier, si

(u_n)

définie par

u_{n+1}=f(u_n)

converge vers

\ell

f

est continue en

\ell

, alors

\boxed{\ell=f(\ell)}

Construction « en escalier » : partant de

u_0

, on lit

u_{n+1}=f(u_n)

sur la courbe puis on reporte sur

y=x

. La suite converge vers le point fixe

\ell=f(\ell)

Méthode — étudier une suite récurrente ① Montrer par récurrence que

(u_n)

est bornée (souvent

m\le u_n\le M

) ; ② étudier la monotonie (signe de

u_{n+1}-u_n

) ; ③ conclure à la convergence (théorème monotone) ; ④ résoudre

\ell=f(\ell)

et écarter les solutions incompatibles (signe, encadrement).

1.7 Arithmético-géométriques & homographiques

Arithmético-géométrique

u_{n+1}=a\,u_n+b

(

a\neq1

) ① Point fixe

\ell=\dfrac{b}{1-a}

; ② poser

v_n=u_n-\ell

: alors

v_{n+1}=a\,v_n

, donc

(v_n)

est géométrique de raison

a

; ③ d'où

\boxed{u_n=\ell+(u_0-\ell)\,a^{n}}

; ④ si

|a|&lt;1

u_n\to\ell

Homographique

u_{n+1}=\frac{au_n+b}{cu_n+d}

Aucune formule générale : on suit une suite auxiliaire

v_n

donnée dans l'énoncé. La démarche est mécanique — montrer que

(v_n)

est arithmétique ou géométrique, l'exprimer en fonction de

n

, puis revenir à $u_n$ en l'isolant dans la définition de

v_n

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Suites de référence

Arithm./géom., terme général, sommes.

Limites & F.I.

$\tfrac1{n^\alpha}$ , $q^n$ ; terme dominant, conjugué.

Gendarmes & comparaison

Encadrer pour trouver ou pousser la limite.

Monotonie & bornes

Croissante majorée ⇒ convergente.

Suites récurrentes

Convergence d'abord, puis $\ell=f(\ell)$ .

Arithm.-géom. & homo.

Point fixe, suite auxiliaire $v_n$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites & F.I.

Exercice 1

Calculer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\frac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}$ et $\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Big(\frac13\Big)^{n}$ .

Voir la correction

a) Forme $\tfrac\infty\infty$ : on factorise par $n^{2}$ : $\dfrac{n^2(1-\frac1n)}{n^2(2+\frac1{n^2})}=\dfrac{1-\frac1n}{2+\frac1{n^2}}\to\dfrac12$ .

b) Suite géométrique $q=\tfrac13$ , $|q|<1$ donc $(\tfrac13)^n\to0$ . ∎

Gendarmes

Exercice 2

Montrer que $u_n=\dfrac{\sin n}{n}\ (n\ge1)$ converge et donner sa limite.

Voir la correction

On encadre : $-1\le\sin n\le1$ . Comme $n\ge1>0$ , diviser conserve le sens : $-\dfrac1n\le\dfrac{\sin n}{n}\le\dfrac1n$ . Or $\pm\dfrac1n\to0$ : les deux gendarmes ont la même limite $0$ . Donc $\boxed{\lim u_n=0}$ . ∎

Suite récurrente

Exercice 3

Soit $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$ . Montrer que $0\le u_n\le2$ , que $(u_n)$ est croissante, puis calculer sa limite.

Voir la correction

Borne (récurrence) : $u_0=1\in[0,2]$ . Si $0\le u_n\le2$ , alors $2\le u_n+2\le4$ , et par croissance de la racine $\sqrt2\le u_{n+1}\le2$ , donc $0\le u_{n+1}\le2$ . ✓

Croissance : $u_{n+1}^2-u_n^2=(u_n+2)-u_n^2=-(u_n-2)(u_n+1)\ge0$ car $u_n-2\le0$ et $u_n+1>0$ . Les termes étant positifs, $u_{n+1}\ge u_n$ .

Limite : croissante + majorée ⇒ converge vers $\ell$ . $f(x)=\sqrt{x+2}$ continue, donc $\ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow\ell^2-\ell-2=(\ell-2)(\ell+1)=0$ . Comme $\ell\ge0$ , on écarte $-1$ : $\boxed{\ell=2}$ . ∎

Arithmético-géométrique

Exercice 4

Soit $u_0=5$ et $u_{n+1}=\dfrac12 u_n+3$ . Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ et déterminer sa limite.

Voir la correction

Point fixe : $\ell=\tfrac12\ell+3\Rightarrow\ell=6$ . On pose $v_n=u_n-6$ : $v_{n+1}=\tfrac12 v_n$ , donc $(v_n)$ est géométrique de raison $\tfrac12$ , $v_0=5-6=-1$ . D'où $v_n=-\big(\tfrac12\big)^n$ et $u_n=6-\Big(\tfrac12\Big)^{n}\xrightarrow[n\to+\infty]{}6\quad(\text{car }|\tfrac12|<1).\ \blacksquare$

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Les techniques de limites des fonctions (terme dominant, conjugué) s'appliquent telles quelles aux suites.

Astuce Face à

\sin n

\cos n

(-1)^n

: pense aux gendarmes (termes bornés entre

-1

1

Astuce Arithmético-géométrique

u_{n+1}=au_n+b

: point fixe

\ell=\tfrac{b}{1-a}

, puis

v_n=u_n-\ell

géométrique.

Piège Point fixe :

\ell=f(\ell)

ne donne la limite que si l'on sait déjà que

(u_n)

converge (à justifier : monotonie + bornes).

Piège Bornée $\neq$ convergente :

(-1)^n

est bornée mais diverge. Et

q^{n}

n'a pas de limite si

q\le-1

— ne pas écrire

\pm\infty

Piège Bien compter

n-p+1

termes dans une somme (pas

n-p

Formulaire à retenir

Limite de

q^{n}

0

|q|&lt;1

;

+\infty

q&gt;1

;

1

q=1

Puissances

\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n^{\alpha}}=0\ (\alpha&gt;0)

Gendarmes

a_n\le u_n\le b_n

\lim a_n=\lim b_n=\ell \Rightarrow \lim u_n=\ell

Monotone bornée croissante majorée (ou décroissante minorée)

\Rightarrow

converge

Point fixe si

u_{n+1}=f(u_n)\to\ell

f

continue, alors

\ell=f(\ell)

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Limite d'une suite numérique

1 · Résumé du cours

1.1 Rappels : suites de référence

1.2 Monotonie & bornes

1.3 Convergence & divergence

1.4 Limites de référence & opérations

1.5 Critères de convergence

1.6 Suites récurrentes un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n)un+1​=f(un​)

1.7 Arithmético-géométriques & homographiques

2 · Feuille de route

Suites de référence

Limites & F.I.

Gendarmes & comparaison

Monotonie & bornes

Suites récurrentes

Arithm.-géom. & homo.

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.6 Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$