2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 4

Les fonctions primitives

Avant d'aborder les intégrales, il faut savoir « remonter » d'une fonction à ses primitives : c'est l'objet de ce chapitre. Vous y apprendrez la définition d'une primitive (une fonction F dont la dérivée redonne f), le tableau des primitives usuelles et la reconnaissance des formes composées comme u′uⁿ et u′/u. Le cours insiste sur un point souvent négligé : une fonction admet une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante, et c'est la condition initiale de l'énoncé qui permet d'en choisir une seule. Maîtriser les primitives, c'est se donner les moyens de réussir le calcul intégral et les équations différentielles qui suivent.

1 · Résumé du cours

Jusqu'ici on partait de $f$ pour obtenir $f'$ . Ce chapitre fait le chemin inverse : connaissant $f$ , retrouver une fonction dont elle est la dérivée. C'est court, mais c'est la clé de tout le calcul intégral — calculer une intégrale reviendra toujours à chercher une primitive.

1.1 Notion de primitive

Définition Soit

f

définie sur un intervalle

I

. Une primitive de

f

sur

I

est une fonction

F

dérivable sur

I

telle que

\boxed{\forall x\in I,\quad F'(x)=f(x).}

Exemple : $F(x)=x^{2}$ est une primitive de $f(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$ . Mais $G(x)=x^{2}+7$ aussi, car $G'(x)=2x$ : la constante disparaît en dérivant. Une fonction admet donc plusieurs primitives.

La vérification qui ne trompe jamais Un doute sur une primitive ? Dérivez-la. Si vous retrouvez

f

, c'est juste. C'est la seule vérification dont vous ayez besoin — à utiliser systématiquement le jour de l'examen.

Comme $F'=f$ , le signe de $f$ donne directement les variations de $F$ : là où $f>0$ , $F$ croît ; là où $f<0$ , $F$ décroît ; les zéros de $f$ donnent les extremums de $F$ .

1.2 L'ensemble des primitives

Existence & structure

Toute fonction continue sur un intervalle $I$ y admet des primitives.
Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors les primitives de $f$ sont exactement les fonctions $x\mapsto F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}$ .
Unicité avec condition : pour $x_0\in I$ et $y_0\in\mathbb{R}$ , il existe une unique primitive $F$ telle que $F(x_0)=y_0$ .

Pourquoi «

+k

» et rien d'autre Si

F

G

sont deux primitives de

f

, alors

(G-F)'=f-f=0

sur

I

: une fonction de dérivée nulle sur un intervalle est constante, donc

G-F=k

. L'hypothèse « intervalle » est essentielle — sur

\mathbb{R}^{*}

, la constante pourrait différer sur chaque morceau.

Les primitives de

f(x)=2x

(

y=x^{2}+k

) se déduisent par translation verticale : même pente

f(x)

à chaque abscisse. Une condition

F(x_0)=y_0

en sélectionne une seule (en doré).

Méthode — trouver LA primitive qui vérifie une condition ① Déterminer la primitive générale

F(x)+k

; ② écrire

F(x_0)+k=y_0

; ③ en déduire

k

, puis conclure. Ex. la primitive de

f(x)=2x

telle que

F(1)=2

F(x)=x^2+k

1+k=2\Rightarrow k=1

, donc

F(x)=x^{2}+1

1.3 Primitives des fonctions usuelles

Le tableau des dérivées, lu à l'envers

a\ \to\ ax,\qquad x^{n}\ (n\in\mathbb{N})\ \to\ \frac{x^{n+1}}{n+1},\qquad \frac{1}{x^{2}}\ \to\ -\frac{1}{x},\qquad \frac{1}{\sqrt{x}}\ \to\ 2\sqrt{x},

\frac{1}{x}\ \to\ \ln|x|,\qquad \cos x\ \to\ \sin x,\qquad \sin x\ \to\ -\cos x,\qquad \frac{1}{\cos^{2}x}\ \to\ \tan x,\qquad e^{x}\ \to\ e^{x}.

Ce tableau n'est que celui des dérivées parcouru de droite à gauche : demandez-vous toujours « de quoi ceci est-il la dérivée ? »

Puissance d'exposant rationnel Une seule formule englobe

x^{n}

\tfrac{1}{x^{2}}=x^{-2}

\tfrac{1}{\sqrt x}=x^{-1/2}

: pour tout

r\in\mathbb{Q}

avec

r\neq-1

, sur

]0,+\infty[

\boxed{x^{r}\ \to\ \frac{x^{r+1}}{r+1}.}

Le cas exclu

r=-1

est

\tfrac1x

, dont la primitive est

\ln x

(et non une puissance). Ex.

\sqrt[3]{x}=x^{1/3}\to\tfrac{x^{4/3}}{4/3}=\tfrac34 x^{4/3}

1.4 Opérations & formes composées

Linéarité Si

F,G

sont des primitives de

f,g

\alpha,\beta\in\mathbb{R}

, alors

\alpha F+\beta G

est une primitive de

\alpha f+\beta g

. On primitive donc terme à terme.

Ce qui n'existe PAS Il n'y a aucune formule pour la primitive d'un produit ou d'un quotient — contrairement aux dérivées. C'est ce qui rend les primitives plus difficiles : il faut reconnaître une forme.

Les formes composées (

u'

en facteur) Chaque dérivation composée, lue à l'envers, donne une primitive :

u'\,u^{n}\ \to\ \frac{u^{n+1}}{n+1},\qquad \frac{u'}{u^{2}}\ \to\ -\frac1u,\qquad \frac{u'}{\sqrt u}\ \to\ 2\sqrt u\ (u>0),

\frac{u'}{u}\ \to\ \ln|u|,\qquad u'e^{u}\ \to\ e^{u},\qquad u'\cos u\ \to\ \sin u,\qquad u'\sin u\ \to\ -\cos u.

Là encore une seule formule regroupe les trois premières : pour

r\neq-1

u'u^{r}\to\dfrac{u^{r+1}}{r+1}

Méthode — reconnaître & ajuster ① Repérer $u$ (ce qui est « à l'intérieur » : sous la racine, dans l'exponentielle, au dénominateur) ; ② calculer

u'

et le repérer en facteur ; ③ s'il manque un coefficient constant, l'ajouter en compensant par son inverse ; ④ dériver pour vérifier. Ex.

e^{2x}=\tfrac12\cdot\underbrace{2e^{2x}}_{u'e^{u}}\Rightarrow F(x)=\tfrac12 e^{2x}

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & vérification

$F'=f$ ; toujours contrôler en dérivant.

Ensemble des primitives

$F+k$ : ne jamais oublier la constante.

Table usuelle

Puissances, trigo, $e^x$ , $\tfrac1x\to\ln|x|$ .

Formes composées

Reconnaître $u'u^n$ , $\tfrac{u'}{u}$ , $u'e^u$ …

Ajuster le coefficient

Compléter le facteur manquant par son inverse.

Condition initiale

Déterminer $k$ via $F(x_0)=y_0$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Linéarité,

\frac{u'}{u}

u'u^n

Exercice 1

Déterminer une primitive de : a) $f(x)=3x^{2}-4x+1$ ; b) $g(x)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$ ; c) $h(x)=(2x+1)^{4}$ .

Voir la correction

a) Par linéarité, terme à terme : $F(x)=x^{3}-2x^{2}+x$ . Vérif : $F'(x)=3x^2-4x+1$ . ✓

b) Forme $\dfrac{u'}{u}$ avec $u=x^{2}+1>0$ , $u'=2x$ : $G(x)=\ln(x^{2}+1)$ (valeur absolue inutile car $x^2+1>0$ ).

c) Forme $u'u^{n}$ avec $u=2x+1$ , $u'=2$ , $n=4$ ; il manque le facteur $2$ : $(2x+1)^4=\tfrac12\cdot 2(2x+1)^4\Rightarrow H(x)=\dfrac{(2x+1)^{5}}{10}$ . ∎

Condition initiale

Exercice 2

Soit $f(x)=\dfrac{1}{x}+\cos x$ sur $]0,+\infty[$ . Déterminer la primitive $F$ telle que $F(1)=3$ .

Voir la correction

Sur $]0,+\infty[$ , $x>0$ donc $\ln|x|=\ln x$ . Les primitives sont $F(x)=\ln x+\sin x+k$ . La condition : $\ln 1+\sin 1+k=3\Rightarrow 0+\sin 1+k=3\Rightarrow k=3-\sin 1$ . Donc $\boxed{F(x)=\ln x+\sin x+3-\sin 1}$ . ∎

Forme

\frac{u'}{\sqrt u}

Exercice 3

Déterminer une primitive de $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+4}}$ sur $\mathbb{R}$ .

Voir la correction

On pose $u=x^{2}+4>0$ sur $\mathbb{R}$ , $u'=2x$ . La forme voulue est $\dfrac{u'}{\sqrt u}=\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+4}}$ ; il manque le facteur $2$ : $\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}=\tfrac12\cdot\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+4}}\ \Rightarrow\ F(x)=\tfrac12\cdot 2\sqrt{x^2+4}=\sqrt{x^{2}+4}.$ Vérif : $F'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+4}}$ . ✓

Forme

u'u^{r}

Exercice 4

Déterminer une primitive de $f(x)=x\sqrt{x^{2}+1}$ .

Voir la correction

$f(x)=x\,(x^2+1)^{1/2}$ . On pose $u=x^2+1>0$ , $u'=2x$ , $r=\tfrac12$ ( $r+1=\tfrac32$ ) : $f(x)=\tfrac12\cdot\underbrace{2x\,(x^2+1)^{1/2}}_{u'u^{r}}\ \Rightarrow\ F(x)=\tfrac12\cdot\dfrac{(x^2+1)^{3/2}}{3/2}=\tfrac13(x^{2}+1)^{3/2}.$ Vérif : $F'(x)=\tfrac13\cdot\tfrac32(x^2+1)^{1/2}\cdot 2x=x\sqrt{x^2+1}$ . ✓

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifie toujours en dérivant : si

F'=f

, la primitive est correcte.

Astuce Fais apparaître

u'

en facteur pour reconnaître une forme composée ; s'il manque un coefficient constant, compense par son inverse.

Astuce Une seule formule pour les puissances :

u'u^{r}\to\tfrac{u^{r+1}}{r+1}

(

r\neq-1

), qui englobe

u'u^n

\tfrac{u'}{u^2}

\tfrac{u'}{\sqrt u}

Piège

x^{n}\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}

est faux pour $n=-1$ : la primitive de

\tfrac1x

est

\ln|x|

Piège Ne jamais oublier la constante

+k

— indispensable dès qu'il y a une condition initiale.

Piège Aucune formule pour un produit ou un quotient : il faut reconnaître une forme (ou, plus tard, l'intégration par parties).

Formulaire à retenir

Définition

F

primitive de

f\iff F'=f

; primitives =

F+k

Usuelles

x^{n}\to\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\ (n\neq-1),\quad \cos\to\sin,\quad \sin\to-\cos

u'u^{n}

\to\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}

\dfrac{u'}{\sqrt u}

\to\ 2\sqrt{u}

\dfrac{u'}{u^{2}}

\to\ -\dfrac{1}{u}

Condition initiale

k

déterminé par

F(x_0)=y_0

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