Les primitives sont le pont entre la dérivation et le calcul intégral. Cette fiche donne la définition (F telle que F′ = f), les primitives usuelles et les formes composées u′uⁿ et u′/u à reconnaître d'un coup d'œil. Au Bac PC/SVT, savoir « remonter » d'une fonction à sa primitive est indispensable avant d'aborder les intégrales et les équations différentielles. Rappelez-vous qu'une primitive est définie à une constante près : la condition initiale sert justement à fixer cette constante.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Primitives — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Définition & propriétés

Définition

• $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si :

$F'(x)=f(x)\quad\text{pour tout }x\in I$

Ensemble des primitives

• Elles diffèrent d'une constante
• Famille de courbes translatées

$G(x)=F(x)+k,\ k\in\mathbb{R}$

Existence & unicité

• Toute fonction continue sur $I$ admet des primitives
• Une seule vérifie $F(x_0)=y_0$

Astuce : la condition $F(x_0)=y_0$ fixe $k$.

Famille des primitives $F(x)+k$ : courbes translatées verticalement ; $A(1,2)$ fixe une primitive unique.

2 · Primitives usuelles

$a\ \Rightarrow\ ax$

$x^{n}\ (n\neq-1)\ \Rightarrow\ \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{1}{x^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{x}$

$\dfrac{1}{\sqrt{x}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{x}$

$\dfrac{1}{x}\ \Rightarrow\ \ln|x|$

$e^{x}\ \Rightarrow\ e^{x}$

$\cos x\ \Rightarrow\ \sin x$

$\sin x\ \Rightarrow\ -\cos x$

$\dfrac{1}{\cos^{2}x}\ \Rightarrow\ \tan x$

3 · Formes composées

$u'\,u^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$

$\dfrac{u'}{u^{2}}\ \Rightarrow\ -\dfrac{1}{u}$

$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{u}$

$\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|$

$u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}$

$u'\cos u\ \Rightarrow\ \sin u$

$u'\sin u\ \Rightarrow\ -\cos u$

$\dfrac{u'}{\cos^{2}u}\ \Rightarrow\ \tan u$

$af+bg\ \Rightarrow\ aF+bG$

4 · Méthode

Reconnaître la forme

• Identifier $u$ et sa dérivée $u'$
• Repérer $u'u^{n}$, $\frac{u'}{u}$, $u'e^{u}$…

Astuce : fais apparaître $u'$ au numérateur.

Ajuster & vérifier

• Multiplier / diviser par une constante
• Diviser par la dérivée intérieure
• Vérifier en dérivant $F$

Ex : $\cos(3x)\Rightarrow \tfrac13\sin(3x)$

5 · Exemples résolus

1$3x^{2}-4x+1\ \Rightarrow\ x^{3}-2x^{2}+x+k$

2$(2x+1)^{4}\ \Rightarrow\ \dfrac{(2x+1)^{5}}{10}+k$

3$\cos(3x)\ \Rightarrow\ \dfrac13\sin(3x)+k$

4$e^{2x}\ \Rightarrow\ \dfrac12\,e^{2x}+k$

5$\dfrac{x}{x^{2}+1}\ \Rightarrow\ \dfrac12\ln(x^{2}+1)+k$

6$f(x)=2x,\ F(0)=1\ \Rightarrow\ F(x)=x^{2}+1$

★ Astuces géniales

• Toujours vérifier en dérivant $F$ : on doit retrouver $f$.
• Ne jamais oublier la constante $+k$.
• Forme composée : ajuster le coefficient (diviser par la dérivée intérieure).
• La condition $F(x_0)=y_0$ donne une seule primitive.

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