Représenter graphiquement une fonction, c'est traduire toute l'étude analytique en une courbe juste. Cette fiche réunit les points de contrôle attendus au Bac : asymptotes horizontales, verticales et obliques, position de la courbe par rapport à une asymptote, symétries (axe ou centre) et points d'inflexion. En PC/SVT, la qualité du tracé rapporte des points au correcteur : placez les tangentes remarquables et respectez les branches infinies. Un bon réflexe : vérifier la cohérence entre le tableau de variations et l'allure finale de la courbe.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Représentation graphique d'une fonction

Math Excellence

1 · Premiers réflexes

Domaine & parité

• Déterminer le domaine $D_f$
• $f(-x)=f(x)$ : paire (symétrie $Oy$)
• $f(-x)=-f(x)$ : impaire (symétrie $O$)

Astuce : la parité réduit l'étude de moitié.

Périodicité

• $f$ est $T$-périodique si :

$\exists\,T>0,\ \forall x\in D_f,\ f(x+T)=f(x)$

Points particuliers

• Intersections axes : $f(x)=0$ et $f(0)$
• Valeurs remarquables, zéros, symétries

2 · Limites & asymptotes

Asymptote verticale

$\displaystyle\lim_{x\to a^{\pm}}f(x)=\pm\infty\ \Rightarrow\ x=a$

Asymptote horizontale

$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\ \Rightarrow\ y=\ell$

Asymptote oblique

• $a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}$, $b=\displaystyle\lim(f(x)-ax)$

Si $\lim(f(x)-(ax+b))=0$ $(a\neq0)$ : $y=ax+b$

Branches paraboliques

• Si $|f(x)|\to+\infty$ et $\dfrac{f(x)}{x^{2}}\to k\neq0$
• Comportement parabolique (ou cubique…)

Asymptote verticale $x=1$ et horizontale $y=1$.

3 · Variations, convexité & tangente

Variations (signe de $f'$)

• $f'>0$ sur $I\Rightarrow f$ croissante
• f'<0 sur $I\Rightarrow f$ décroissante
• Extremum si $f'$ change de signe

Convexité (signe de $f''$)

• $f''>0\Rightarrow f$ convexe ($\cup$)
• f''<0\Rightarrow f concave ($\cap$)
• Inflexion : $f''$ change de signe

Tangente en $a$

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Astuce : horizontale si $f'(a)=0$.

4 · Méthode complète pour tracer $C_f$

1Déterminer le domaine $D_f$.

2Limites aux bornes $\Rightarrow$ asymptotes.

3Parité ou périodicité (si possible).

4$f'(x)$ : tableau de variations, extrema.

5$f''(x)$ : convexité, points d'inflexion.

6Signe de $f$, intersections avec les axes.

7Tracer asymptotes, points remarquables, tangentes.

8Relier en respectant variations & convexité.

5 · Exemple synthèse — $f(x)=x^{3}-3x$

Dérivée & variations

• $f'(x)=3x^{2}-3=3(x-1)(x+1)$, zéros $-1$ et $1$
• Max $f(-1)=2$ ; Min $f(1)=-2$

Convexité, zéros & limites

• $f''(x)=6x$ : inflexion en $(0,0)$
• Zéros : $x(x^{2}-3)=0\Rightarrow -\sqrt3,\,0,\,\sqrt3$
• $\lim_{-\infty}f=-\infty,\ \lim_{+\infty}f=+\infty$

$C_f$ : maximum $(-1,2)$, minimum $(1,-2)$, inflexion $I(0,0)$, zéros $-\sqrt3,\,0,\,\sqrt3$.

★ Astuces géniales

• Toujours commencer par le domaine de définition.
• Étudier les limites et asymptotes en priorité.
• $f'$ donne les variations, $f''$ la convexité.
• Placer points remarquables et tangentes avant de relier harmonieusement.

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