QCM — Représentation graphique d'une fonction

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=3\), la courbe de \(f\) admet :

   • Al'asymptote verticale \(x=3\)
   • ✓l'asymptote horizontale \(y=3\) au voisinage de \(+\infty\)
   • Cl'asymptote oblique \(y=3x\)
   • Daucune asymptote

   Remarque

   Une limite finie \(\ell\) en \(\pm\infty\) donne une asymptote horizontale d'équation \(y=\ell\).

2. Question 2

   Si \(\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)=+\infty\), la courbe de \(f\) admet :

   • Al'asymptote horizontale \(y=2\)
   • Bune asymptote oblique
   • ✓l'asymptote verticale \(x=2\)
   • Daucune asymptote

   Remarque

   Une limite infinie en un réel \(a\) donne une asymptote verticale d'équation \(x=a\).

3. Question 3

   Pour une asymptote oblique \(y=ax+b\) en \(+\infty\), le coefficient \(a\) se calcule par :

   • A\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-x\big)\)
   • B\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)\cdot x\)
   • C\(f'(x)\)
   • ✓\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\)

   Remarque

   On cherche d'abord \(a=\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}\), puis \(b=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\).

4. Question 4

   Le coefficient \(a\) étant connu, l'ordonnée à l'origine \(b\) de l'asymptote vaut :

   • A\(a\,f(x)\)
   • B\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)+ax\big)\)
   • ✓\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\)
   • D\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}-a\)

   Remarque

   \(b=\lim_{x\to+\infty}\big(f(x)-ax\big)\), l'asymptote étant \(y=ax+b\).

5. Question 5

   Pour situer \(\mathcal{C}_f\) par rapport à son asymptote \((D):y=ax+b\), on étudie le signe de :

   • A\(f(x)+(ax+b)\)
   • ✓\(f(x)-(ax+b)\)
   • C\(f'(x)\)
   • D\(f(x)\,(ax+b)\)

   Remarque

   Le signe de \(f(x)-(ax+b)\) donne la position : positif \(\Rightarrow\) courbe au-dessus, négatif \(\Rightarrow\) en dessous, nul \(\Rightarrow\) point commun.

6. Question 6

   Si \(f\) est paire, sa courbe admet pour élément de symétrie :

   • Al'axe des abscisses \((Ox)\)
   • Bla droite \(y=x\)
   • ✓l'axe des ordonnées \((Oy)\)
   • Dl'origine \(O\) comme centre

   Remarque

   \(f\) paire \(\iff f(-x)=f(x)\) : la courbe est symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).

7. Question 7

   Si \(f\) est impaire, sa courbe admet pour élément de symétrie :

   • ✓l'origine \(O\) comme centre de symétrie
   • Bl'axe \((Oy)\)
   • Cl'axe \((Ox)\)
   • Daucune symétrie

   Remarque

   \(f\) impaire \(\iff f(-x)=-f(x)\) : la courbe admet l'origine \(O\) comme centre de symétrie.

8. Question 8

   La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) lorsque, pour tout \(x\) :

   • A\(f(a-x)=f(x)\)
   • ✓\(f(2a-x)=f(x)\)
   • C\(f(2a-x)=-f(x)\)
   • D\(f(x)=f(x)+a\)

   Remarque

   \(x=a\) est axe de symétrie \(\iff f(2a-x)=f(x)\), c'est-à-dire \(f(a-x)=f(a+x)\).

9. Question 9

   Le point \(I(a,b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}_f\) lorsque, pour tout \(x\) :

   • ✓\(f(2a-x)+f(x)=2b\)
   • B\(f(2a-x)+f(x)=b\)
   • C\(f(2a-x)=f(x)\)
   • D\(f(2a-x)+f(x)=0\)

   Remarque

   \(I(a,b)\) est centre de symétrie \(\iff f(2a-x)+f(x)=2b\), soit \(\tfrac12\big(f(a-x)+f(a+x)\big)=b\).

10. Question 10

    La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(a\) lorsque :

    • A\(f'(a)=0\)
    • B\(f(a)=0\)
    • ✓\(f''\) s'annule en changeant de signe en \(a\)
    • D\(f\) est croissante en \(a\)

    Remarque

    En un point d'inflexion la courbe traverse sa tangente : \(f''\) s'y annule en changeant de signe.

11. Question 11

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=-1\), la courbe de \(f\) admet :

    • Al'asymptote verticale \(x=-1\)
    • ✓l'asymptote horizontale \(y=-1\) au voisinage de \(-\infty\)
    • Cune asymptote oblique
    • Daucune asymptote

    Remarque

    Une limite finie \(-1\) en \(-\infty\) donne l'asymptote horizontale \(y=-1\) de ce côté de la courbe.

12. Question 12

    Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=+\infty\), la courbe admet :

    • Aune asymptote horizontale
    • Bune asymptote oblique
    • ✓une branche parabolique de direction \((Oy)\)
    • Dune branche parabolique de direction \((Ox)\)

    Remarque

    \(\frac{f(x)}{x}\to+\infty\) : pas d'asymptote oblique, la courbe présente une branche parabolique de direction l'axe \((Oy)\).

13. Question 13

    Les abscisses des points d'intersection de \(\mathcal{C}_f\) avec l'axe \((Ox)\) sont :

    • Ales solutions de \(f'(x)=0\)
    • ✓les solutions de \(f(x)=0\)
    • Cla valeur \(f(0)\)
    • Dles pôles de \(f\)

    Remarque

    Un point de \((Ox)\) a une ordonnée nulle : ses abscisses sont les solutions de \(f(x)=0\) (et l'ordonnée à l'origine est \(f(0)\)).

14. Question 14

    La fonction \(f(x)=x^4-3x^2\) est paire ; sa courbe admet donc :

    • Al'origine \(O\) comme centre de symétrie
    • ✓l'axe \((Oy)\) comme axe de symétrie
    • Cl'axe \((Ox)\) comme axe de symétrie
    • Dla droite \(y=x\) comme axe

    Remarque

    \(f(-x)=x^4-3x^2=f(x)\) : \(f\) est paire, sa courbe est symétrique par rapport à l'axe \((Oy)\).

15. Question 15

    Pour \(f(x)=x^3+1\), on a \(f''(x)=6x\). La courbe présente un point d'inflexion en :

    • A\(x=1\)
    • ✓\(x=0\)
    • C\(x=-1\)
    • Daucun point

    Remarque

    \(f''(x)=6x\) s'annule en \(0\) en changeant de signe (\(-\) puis \(+\)) : \(\mathcal{C}_f\) a un point d'inflexion en \(x=0\).