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2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 3

Représentation graphique d'une fonction

Ce chapitre apprend à passer d'une étude analytique à une courbe fidèle. Vous y verrez comment déterminer les asymptotes horizontales, verticales et obliques, comment situer la courbe par rapport à une asymptote, et comment exploiter les symétries (axe ou centre) et les points d'inflexion pour affiner le tracé. Représenter correctement une fonction n'est pas qu'une formalité : au Bac PC/SVT, un graphique soigné, avec ses branches infinies et ses tangentes remarquables, rapporte des points et prouve que vous avez compris toute l'étude. Ce cours détaille, un à un, les éléments à contrôler avant de tracer la courbe.

1 · Résumé du cours

1.1 Parité & éléments de symétrie

Fonction paire / impaire
  • ff est paire   ⟺  \iff pour tout x∈Dfx\in D_f, −x∈Df-x\in D_f et f(−x)=f(x)f(-x)=f(x). Courbe symétrique par rapport à l'axe (Oy)(Oy).
  • ff est impaire   ⟺  \iff f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x). Courbe symétrique par rapport à l'origine OO.
M M' (Oy)
Fonction paire — courbe symétrique par rapport à l'axe (Oy)(Oy).
M M' O
Fonction impaire — courbe symétrique par rapport à l'origine OO.
Tracer avec la parité On étudie et on trace ff sur x≥0x\ge0 seulement, puis on complète par symétrie : par rapport à l'axe (Oy)(Oy) si ff est paire, par rapport à l'origine OO si ff est impaire.
Axe & centre de symétrie
  • La droite x=ax=a est axe de symétrie de (Cf)(C_f)   ⟺  \iff f(2a−x)=f(x)f(2a-x)=f(x).
  • Le point I(a;b)I(a;b) est centre de symétrie   ⟺  \iff f(2a−x)=2b−f(x)f(2a-x)=2b-f(x).
Une symétrie permet de réduire l'intervalle d'étude, puis de compléter la courbe par symétrie.

1.2 Périodicité

ff est périodique de période T>0T>0 si f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x) pour tout xx. On étudie ff sur un intervalle de longueur TT, puis on translate la courbe.

1.3 Plan d'étude d'une fonction

Les étapes, dans l'ordre
  • Ensemble de définition DfD_f.
  • Parité / périodicité →\rightarrow réduire l'intervalle d'étude.
  • Limites aux bornes & branches infinies (asymptotes).
  • Dérivée f′f', signe, tableau de variations.
  • Points particuliers : intersections avec les axes, tangentes remarquables, point d'inflexion.
  • Tracé de la courbe.

1.4 Position relative courbe / asymptote

Étudier le signe de la différence Pour situer (Cf)(C_f) par rapport à une droite y=ax+by=ax+b, on étudie le signe de d(x)=f(x)−(ax+b)d(x)=f(x)-(ax+b) : d(x)>0d(x)>0 : (Cf)(C_f) au-dessus ; d(x)<0 : en dessous ; d(x)=0d(x)=0 : point d'intersection.
x = a y = b
La droite x=ax=a est asymptote verticale (f→±∞f\to\pm\infty) ; la droite y=by=b est asymptote horizontale (f→bf\to b quand x→±∞x\to\pm\infty).

2 · Feuille de route

Comment mener une étude graphique complète, sans rien oublier.

1

Domaine & symétries

DfD_f, parité, période — pour réduire l'étude.

2

Limites & asymptotes

Branches infinies aux bornes de DfD_f.

3

Variations

Signe de f′f', tableau, extremums.

4

Points particuliers

Intersections avec les axes, tangentes, inflexion.

5

Position / asymptote

Signe de f(x)−(ax+b)f(x)-(ax+b).

6

Tracé

Courbe soignée, avec asymptotes et symétries.

3 · Exercices choisis

Parité

Exercice 1

Étudier la parité de f(x)=x3x2+1f(x)=\dfrac{x^{3}}{x^{2}+1} et de g(x)=x2−cos⁡xg(x)=x^{2}-\cos x.

Voir la correction

f(−x)=−x3x2+1=−f(x)f(-x)=\dfrac{-x^{3}}{x^{2}+1}=-f(x) : ff est impaire. g(−x)=x2−cos⁡x=g(x)g(-x)=x^{2}-\cos x=g(x) : gg est paire.

Centre de symétrie

Exercice 2

Montrer que I(1;2)I(1;2) est centre de symétrie de (Cf)(C_f) où f(x)=2xx−1f(x)=\dfrac{2x}{x-1}.

Voir la correction

f(2−x)=2(2−x)(2−x)−1=4−2x1−xf(2-x)=\dfrac{2(2-x)}{(2-x)-1}=\dfrac{4-2x}{1-x}. Or 2⋅2−f(x)=4−2xx−1=4(x−1)−2xx−1=2x−4x−1=4−2x1−x2\cdot2-f(x)=4-\dfrac{2x}{x-1}=\dfrac{4(x-1)-2x}{x-1}=\dfrac{2x-4}{x-1}=\dfrac{4-2x}{1-x}. Égalité vérifiée : I(1;2)I(1;2) est centre de symétrie.

Position relative

Exercice 3

Soit f(x)=x+1+1xf(x)=x+1+\dfrac{1}{x}. La droite y=x+1y=x+1 est asymptote. Étudier la position de (Cf)(C_f) par rapport à elle.

Voir la correction

d(x)=f(x)−(x+1)=1xd(x)=f(x)-(x+1)=\dfrac{1}{x}. Pour x>0x>0, d>0d>0 : (Cf)(C_f) au-dessus ; pour x<0x<0, d<0d<0 : en dessous.

Étude complète

Exercice 4

Étudier et représenter f(x)=x2−2xx−1f(x)=\dfrac{x^{2}-2x}{x-1} (domaine, asymptotes, variations).

Voir la correction

Df=R∖{1}D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}. On écrit f(x)=x−1−1x−1f(x)=x-1-\dfrac{1}{x-1}. Asymptote verticale x=1x=1, asymptote oblique y=x−1y=x-1. f′(x)=1+1(x−1)2>0f'(x)=1+\dfrac{1}{(x-1)^{2}}>0 : ff strictement croissante sur chaque intervalle.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Repérer une symétrie dès le début fait gagner la moitié du travail (on n'étudie que la moitié du domaine).
Astuce Pour une fonction rationnelle, faire la division pour révéler l'asymptote oblique et simplifier f′f'.
Piège Parité : vérifier d'abord que DfD_f est symétrique par rapport à 0, sinon ff ne peut être ni paire ni impaire.
Piège Ne pas confondre axe de symétrie (f(2a−x)=f(x)f(2a-x)=f(x)) et centre de symétrie (f(2a−x)=2b−f(x)f(2a-x)=2b-f(x)).
Piège La position par rapport à l'asymptote se lit sur le signe de f(x)−(ax+b)f(x)-(ax+b), pas sur celui de ff.

Formulaire à retenir

Fonction paire f(−x)=f(x)f(-x)=f(x) — axe (Oy)(Oy)
Fonction impaire f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x) — origine OO
Axe de symétrie x=ax=a f(2a−x)=f(x)f(2a-x)=f(x)
Centre I(a;b)I(a;b) f(2a−x)=2b−f(x)f(2a-x)=2b-f(x)
Périodicité f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x)
Asymptote oblique a=lim⁡x→±∞f(x)x,b=lim⁡x→±∞(f(x)−ax)a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)
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