2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 2

Dérivation & étude de fonctions

La dérivation transforme l'étude d'une fonction en une suite d'étapes mécaniques et sûres. Ce cours reprend la définition du nombre dérivé, les formules de dérivation (somme, produit, quotient, fonction composée) et surtout le lien fondamental entre le signe de la dérivée et le sens de variation. Vous apprendrez à dresser un tableau de variations complet, à localiser les extremums et à écrire l'équation d'une tangente en un point. C'est l'outil le plus utilisé de toute l'année : en Sciences Expérimentales, presque chaque problème d'analyse commence par une dérivée à calculer et un tableau de signes à établir proprement.

1 · Résumé du cours

1.1 Nombre dérivé & tangente

Définition

f

est dérivable en

a

si la limite suivante existe et est finie :

f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

La tangente à

(C_f)

au point d'abscisse

a

a pour équation :

y=f'(a)\,(x-a)+f(a).

Propriété Si

f

est dérivable en

a

, alors

f

est continue en

a

. (La réciproque est fausse :

x\mapsto|x|

est continue mais non dérivable en 0.)

f

est dérivable en

a

\iff

f'_g(a)=f'_d(a)

(nombres dérivés à gauche et à droite égaux).

1.2 Dérivées usuelles

À connaître par cœur

(x^{n})'=n x^{n-1},\quad (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}},\quad \Big(\frac1x\Big)'=-\frac{1}{x^{2}},

(\sin x)'=\cos x,\quad (\cos x)'=-\sin x,\quad (\tan x)'=1+\tan^{2}x=\frac{1}{\cos^{2}x}.

1.3 Opérations sur les dérivées

$(u+v)'=u'+v'$ et $(k\,u)'=k\,u'$
$(u\,v)'=u'v+uv'$
$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$ et $\left(\dfrac{1}{v}\right)'=-\dfrac{v'}{v^{2}}$

1.4 Dérivée d'une fonction composée

Théorème

(v\circ u)'(x)=u'(x)\cdot v'\big(u(x)\big)

. En particulier :

(u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1},\quad (\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}},\quad (\sin u)'=u'\cos u,\quad (\cos u)'=-u'\sin u.

1.5 Dérivée de la réciproque, de la racine nᵉ et des puissances

Théorème Si

f

est dérivable et strictement monotone sur

I

, et

f'(x)\neq 0

, alors

f^{-1}

est dérivable sur

f(I)

et :

\big(f^{-1}\big)'(x)=\frac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}.

De plus :

\big(\sqrt[n]{x}\big)'=\dfrac{1}{n}\,x^{\frac1n-1}

(x^{r})'=r\,x^{r-1}

pour

x>0,\ r\in\mathbb{Q}

La courbe de

f^{-1}

est l'image de celle de

f

par la symétrie d'axe la droite $y=x$ (la première bissectrice).

1.6 Dérivée & sens de variation

Théorème fondamental de l'étude de fonctions Soit

f

dérivable sur un intervalle

I

Si $f'>0$ sur $I$ alors $f$ est strictement croissante sur $I$ .
Si $f'<0$ sur $I$ alors $f$ est strictement décroissante sur $I$ .
Si $f'=0$ sur $I$ alors $f$ est constante sur $I$ .

f

admet un extremum local en

x_0

f'

s'annule en changeant de signe en

x_0

Là où f ′ > 0,

f

est croissante ; là où f ′ < 0, elle est décroissante. Les extremums sont atteints là où la tangente est horizontale (f ′ s'annule en changeant de signe).

Le tableau de variations résume l'étude : le signe de

f'

donne le sens de variation de

f

(flèches), et les extremums apparaissent là où

f'

s'annule en changeant de signe.

1.7 Convexité, concavité & points d'inflexion

Dérivée seconde Soit

f

deux fois dérivable sur un intervalle

I

Si $f''>0$ sur $I$ , alors $f$ est convexe (la courbe est au-dessus de ses tangentes).
Si $f''<0$ sur $I$ , alors $f$ est concave (la courbe est en dessous de ses tangentes).

Le point

A\big(x_0;f(x_0)\big)

est un point d'inflexion si

f''

s'annule en changeant de signe en

x_0

: la courbe y traverse sa tangente.

En un point d'inflexion, la courbe traverse sa tangente :

f''

change de signe (ici concave puis convexe).

1.8 Branches infinies

Asymptotes

Horizontale : si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell$ (fini), la droite $y=\ell$ est asymptote horizontale.
Verticale : si $\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=\pm\infty$ , la droite $x=a$ est asymptote verticale.
Oblique : si $\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-(ax+b)\big)=0$ , la droite $y=ax+b$ est asymptote oblique — avec $a=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}$ puis $b=\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\big(f(x)-ax\big)$ .

Branches paraboliques S'il n'y a pas d'asymptote, on étudie

\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}

Limite $=\pm\infty$ : branche parabolique de direction l'axe $(Oy)$ .
Limite $=0$ : branche parabolique de direction l'axe $(Ox)$ .
Limite $=a\ (a\neq0)$ avec $\lim\big(f(x)-ax\big)=\pm\infty$ : branche parabolique de direction $y=ax$ .

2 · Feuille de route

La progression conseillée pour maîtriser la dérivation et l'étude de fonctions.

Nombre dérivé & tangente

Définition, interprétation géométrique, équation de la tangente.

Dérivées usuelles & opérations

Table à mémoriser, produit, quotient, multiple.

Fonction composée

Identifier $u$ et $v$ ; $(u^n)'$ , $(\sqrt u)'$ , $(\sin u)'$ .

Réciproque, racine nᵉ, puissances

$(f^{-1})'$ , dérivée de $\sqrt[n]{x}$ et de $x^{r}$ .

Variations & extremums

Signe de $f'$ , tableau de variations, extremums locaux.

Convexité & points d'inflexion

Signe de $f''$ , convexe/concave, points d'inflexion.

Branches infinies

Asymptotes (horizontale, verticale, oblique) et branches paraboliques.

Étude complète & problèmes

Synthèse : tableau, courbe, tangentes, optimisation.

3 · Exercices choisis

Sélection couvrant chaque compétence, avec correction guidée.

Calcul · produit & quotient

Exercice 1

Dériver : $f(x)=(x^{2}-1)\sqrt{x}$ et $g(x)=\dfrac{2x+1}{x^{2}+1}$ .

Voir la correction

$f'(x)=2x\sqrt{x}+(x^{2}-1)\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{5x^{2}-1}{2\sqrt{x}}$ .
$g'(x)=\dfrac{2(x^{2}+1)-(2x+1)\cdot 2x}{(x^{2}+1)^{2}}=\dfrac{-2x^{2}-2x+2}{(x^{2}+1)^{2}}$ .

Composée

Exercice 2

Dériver : $f(x)=\sqrt{x^{2}+1}$ et $g(x)=\sin(3x^{2})$ .

Voir la correction

$f'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^{2}+1}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$ . $g'(x)=6x\cos(3x^{2})$ .

Tangente

Exercice 3

Soit $f(x)=x^{3}-3x+1$ . Déterminer l'équation de la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $a=1$ .

Voir la correction

$f'(x)=3x^{2}-3$ , $f'(1)=0$ et $f(1)=-1$ . Tangente : $y=0\cdot(x-1)-1$ , soit $y=-1$ (tangente horizontale).

Dérivabilité en un point

Exercice 4

Étudier la dérivabilité en 0 de $f(x)=x\sqrt{x}$ (pour $x\ge0$ ) et de $g(x)=|x|$ .

Voir la correction

$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\sqrt{x}\to0$ : $f$ est dérivable en 0, $f'(0)=0$ .
Pour $g$ : taux à droite $=1$ , à gauche $=-1$ : $g$ n'est pas dérivable en 0.

Étude de variations

Exercice 5

Étudier les variations de $f(x)=x^{3}-3x^{2}+1$ sur $\mathbb{R}$ et donner ses extremums.

Voir la correction

$f'(x)=3x^{2}-6x=3x(x-2)$ . $f'>0$ sur $]-\infty;0[\cup]2;+\infty[$ , $f'<0$ sur $]0;2[$ . Maximum local $f(0)=1$ ; minimum local $f(2)=-3$ .

Dérivée de la réciproque

Exercice 6

Soit $f(x)=x^{3}+x$ sur $\mathbb{R}$ . Justifier que $f$ admet une réciproque dérivable et calculer $(f^{-1})'(2)$ .

Voir la correction

$f'(x)=3x^{2}+1>0$ : $f$ strictement croissante, bijective. $f(1)=2\Rightarrow f^{-1}(2)=1$ . $(f^{-1})'(2)=\dfrac{1}{f'(1)}=\dfrac{1}{4}$ .

Convexité · point d'inflexion

Exercice 7

Soit $f(x)=x^{3}-3x^{2}+2$ . Étudier la convexité de $f$ et déterminer son point d'inflexion.

Voir la correction

$f'(x)=3x^{2}-6x$ , $f''(x)=6x-6=6(x-1)$ . $f''<0$ sur $]-\infty;1[$ (concave), $f''>0$ sur $]1;+\infty[$ (convexe). $f''$ change de signe en 1 : point d'inflexion $A(1;0)$ .

Branches infinies · asymptote oblique

Exercice 8

Étudier les branches infinies de $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x-1}$ en 1 et en $\pm\infty$ .

Voir la correction

En 1 : $\lim_{x\to1}f(x)=\pm\infty$ ⇒ asymptote verticale $x=1$ .
En $\pm\infty$ : $a=\lim\dfrac{f(x)}{x}=\lim\dfrac{x^{2}+1}{x^{2}-x}=1$ ; $b=\lim\big(f(x)-x\big)=\lim\dfrac{x+1}{x-1}=1$ . Donc asymptote oblique $y=x+1$ .

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Tangente horizontale

\iff f'(a)=0

. Très utile pour repérer les extremums.

Astuce Composée : repère d'abord la fonction « extérieure » et la fonction « intérieure »

u

, puis applique

(v\circ u)'=u'\,v'(u)

Astuce Signe de $f'$ : factorise

f'(x)

au maximum pour lire son signe facilement dans le tableau.

Piège Dérivable ⇒ continue, mais continue ⇏ dérivable (contre-exemple

|x|

en 0).

Piège Quotient : l'ordre compte — c'est

u'v-uv'

au numérateur, pas l'inverse.

Piège Extremum :

f'(x_0)=0

ne suffit pas — il faut que

f'

change de signe en

x_0

Piège Domaine :

\sqrt{u}

n'est dérivable que là où

u>0

(attention aux bornes).

Piège Point d'inflexion :

f''(x_0)=0

ne suffit pas — il faut que

f''

change de signe en

x_0

(même logique que l'extremum avec

f'

Astuce Branches infinies : commence toujours par

\lim\frac{f(x)}{x}

. Si c'est un réel

a

, calcule

\lim\big(f(x)-ax\big)

pour trancher entre asymptote oblique et branche parabolique.

Piège Asymptote oblique : il ne suffit pas que

\lim\frac{f(x)}{x}=a

soit fini — il faut aussi que

\lim\big(f(x)-ax\big)=b

soit fini. Sinon c'est une branche parabolique.

Formulaire à retenir

Nombre dérivé

f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Tangente en

a

y=f'(a)(x-a)+f(a)

Dérivées usuelles

(x^{n})'=nx^{n-1},\ (\sqrt x)'=\dfrac{1}{2\sqrt x},\ (\sin)'=\cos,\ (\cos)'=-\sin

Opérations

(uv)'=u'v+uv',\quad \Big(\dfrac{u}{v}\Big)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}

Composée

(v\circ u)'=u'\cdot v'(u)

Réciproque

(f^{-1})'(x)=\dfrac{1}{f'\!\big(f^{-1}(x)\big)}

Variations

f'&gt;0\Rightarrow

croissante ; extremum si

f'

change de signe

Convexité

f''&gt;0\Rightarrow

convexe ; inflexion si

f''

change de signe

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