2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 1

Limites & continuité

Premier grand chapitre d'analyse de l'année, les limites et la continuité posent les fondations de tout ce qui suit : étude de fonctions, suites, calcul intégral. Ce cours vous explique comment calculer une limite en un point ou à l'infini, comment reconnaître et traiter une forme indéterminée, et ce que signifie précisément qu'une fonction soit continue. Vous y découvrirez aussi le théorème des valeurs intermédiaires, très utile pour prouver qu'une équation admet une solution. En filière PC/SVT, ces notions ouvrent presque toujours le problème d'analyse du sujet : les maîtriser tôt dans l'année, c'est aborder le reste du programme avec des bases solides.

1 · Résumé du cours

1.1 Limites usuelles

Pour tout $n\in\mathbb{N}^*$ :

$\lim_{x\to+\infty}x^{n}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x^{n}=\begin{cases}+\infty & n \text{ pair}\\ -\infty & n \text{ impair}\end{cases}$

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{1}{x^{n}}=0,\qquad \lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x^{n}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x^{n}}=\begin{cases}+\infty & n \text{ pair}\\ -\infty & n \text{ impair}\end{cases}$

Les 4 formes indéterminées

\dfrac{0}{0}\;,\quad \dfrac{\infty}{\infty}\;,\quad \infty-\infty\;,\quad 0\times\infty

Devant une F.I., on ne conclut jamais directement : il faut transformer l'expression.

1.2 Polynômes & fonctions rationnelles

Règle du terme dominant En

\pm\infty

, un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré :

\lim_{x\to\pm\infty}\big(a_nx^{n}+\dots\big)=\lim_{x\to\pm\infty}a_nx^{n},\qquad \lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_nx^{n}}{b_mx^{m}}.

En un réel

a

\displaystyle\lim_{x\to a}P(x)=P(a)

\displaystyle\lim_{x\to a}\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{P(a)}{Q(a)}

Q(a)\neq0

1.3 Fonctions irrationnelles & trigonométriques

Si $\lim f=\ell\ge0$ alors $\lim\sqrt{f}=\sqrt{\ell}$ ; si $\lim f=+\infty$ alors $\lim\sqrt{f}=+\infty$ .

Limites trigonométriques de référence

\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1,\qquad \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}=\frac{1}{2}.

1.4 Théorème de comparaison (encadrement)

Théorème « sandwich » Sur un voisinage de la borne :

Si $f(x)\ge u(x)$ et $\lim u=+\infty$ alors $\lim f=+\infty$ .
Si $f(x)\le u(x)$ et $\lim u=-\infty$ alors $\lim f=-\infty$ .
Si $u(x)\le f(x)\le v(x)$ et $\lim u=\lim v=\ell$ alors $\lim f=\ell$ .
Si $|f(x)-\ell|\le u(x)$ et $\lim u=0$ alors $\lim f=\ell$ .

1.5 Continuité

Définition

f

est continue en $x_0$ si

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

f

est continue en

x_0

\iff

\displaystyle\lim_{x\to x_0^{-}}f(x)=\lim_{x\to x_0^{+}}f(x)=f(x_0)

Toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$ .
Toute fonction rationnelle est continue sur son domaine.
$\cos$ , $\sin$ , $x\mapsto|x|$ sont continues sur $\mathbb{R}$ ; $x\mapsto\sqrt{x}$ sur $\mathbb{R}^{+}$ .
Opérations : $f+g$ , $f\times g$ , $k\!\cdot\! f$ , $|f|$ , et $\frac{1}{g}$ , $\frac{f}{g}$ (si $g\neq0$ ) restent continues.
Composée : si $f$ continue en $a$ et $g$ continue en $f(a)$ , alors $g\circ f$ est continue en $a$ .

1.6 Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

TVI Si

f

est continue sur

[a;b]

, alors pour tout

k

compris entre

f(a)

f(b)

, il existe

c\in[a;b]

tel que

f(c)=k

Si $f$ est strictement monotone, ce $c$ est unique.
Cas usuel : si $f(a)\cdot f(b)<0$ , l'équation $f(x)=0$ admet une solution dans $]a;b[$ .

Dichotomie : on découpe

[a;b]

en son milieu

m=\frac{a+b}{2}

, on garde la moitié où

f

change de signe, et on recommence pour encadrer la solution.

1.7 Fonction réciproque

Définition & propriétés Si

f

est continue et strictement monotone sur

I

, elle admet une réciproque

f^{-1}

J=f(I)

vers

I

, avec

y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)

$f^{-1}$ est continue et a le même sens de variation que $f$ .
$(C_f)$ et $(C_{f^{-1}})$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$ .
$f^{-1}\circ f(x)=x$ et $f\circ f^{-1}(y)=y$ .

1.8 Racine nᵉ & puissances rationnelles

Définition Pour

n\in\mathbb{N}^*\setminus\{1\}

a\ge0

\sqrt[n]{a}

est l'unique réel positif tel que

(\sqrt[n]{a})^{n}=a

. La fonction

x\mapsto\sqrt[n]{x}

est continue et strictement croissante sur

\mathbb{R}^{+}

.
Puissances rationnelles :

x^{p/q}=\sqrt[q]{x^{p}}

pour

x>0

Propriétés : $\sqrt[n]{x}\sqrt[n]{y}=\sqrt[n]{xy}$ , $\big(\sqrt[n]{x}\big)^{m}=\sqrt[n]{x^{m}}$ , $x^{r}x^{r'}=x^{r+r'}$ , $(x^{r})^{r'}=x^{r r'}$ .

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre, du plus fondamental au plus exigeant.

Limites & formes indéterminées

Réflexe : reconnaître la F.I. avant tout calcul. Maîtriser le terme dominant.

Techniques de levée

Quantité conjuguée, factorisation, limites trigo de référence, encadrement.

Continuité

Définition en un point, à gauche/à droite, continuité avec paramètre, opérations.

TVI & dichotomie

Existence et unicité d'une solution ; encadrement par dichotomie.

Fonction réciproque

Justifier l'existence, déterminer $f^{-1}$ , lien graphique $y=x$ .

Racine nᵉ & puissances

Calcul avec $\sqrt[n]{\,}$ , équations $x^{n}=a$ , limites avec racines nᵉ.

3 · Exercices choisis

Une sélection représentative couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Limites · terme dominant

Exercice 1

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x^{2}-4x+3}{x^{2}+x+1}$ et $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{-2x^{2}+x+1}{5x^{4}+x-8}$ .

Voir la correction

On garde les termes de plus haut degré : $\displaystyle\lim\frac{2x^{2}}{x^{2}}=2$ . Pour la 2ᵉ : $\displaystyle\lim\frac{-2x^{2}}{5x^{4}}=\lim\frac{-2}{5x^{2}}=0$ .

Limites · quantité conjuguée

Exercice 2

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x$ .

Voir la correction

Forme $\infty-\infty$ . On multiplie par la conjuguée : $\sqrt{x^{2}+x}-x=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+x}+x}\longrightarrow\frac{1}{2}.$

Limites · trigonométrie

Exercice 3

Calculer : $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(5x)}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x\,\sin x}$ .

Voir la correction

$\displaystyle\frac{\sin(5x)}{x}=5\cdot\frac{\sin(5x)}{5x}\to 5$ . Et $\displaystyle\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{1-\cos x}{x^{2}}\cdot\frac{x}{\sin x}\to\frac12$ .

Limites · encadrement

Exercice 4

Soit $f(x)=\dfrac{2+\sin x}{x}$ pour $x>0$ . Montrer que $\dfrac{1}{x}\le f(x)\le\dfrac{3}{x}$ , puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)$ .

Voir la correction

$-1\le\sin x\le1\Rightarrow 1\le 2+\sin x\le3$ , donc $\frac1x\le f(x)\le\frac3x$ . Par encadrement, $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$ .

Continuité · avec paramètre

Exercice 5

Soit $f(x)=\dfrac{x^{3}-1}{x-1}$ si $x<1$ , $f(1)=3$ , et $f(x)=\dfrac{mx-3}{x-1}$ si $x>1$ . Déterminer $m$ pour que $f$ soit continue en 1.

Voir la correction

À gauche : $x^{2}+x+1\to3=f(1)$ . À droite, limite finie ⇒ numérateur nul en 1 ⇒ $m=3$ , et alors $\frac{3x-3}{x-1}=3\to3$ . Donc $m=3$ .

TVI · existence & unicité

Exercice 6

Montrer que l'équation $x^{3}+x-1=0$ admet une unique solution $\alpha\in\,]0;1[$ .

Voir la correction

$f(x)=x^{3}+x-1$ continue et strictement croissante ⇒ solution unique. $f(0)=-1<0$ , $f(1)=1>0$ ⇒ (TVI) $\alpha\in\,]0;1[$ .

Fonction réciproque

Exercice 7

Soit $f(x)=\sqrt{x-2}$ sur $I=[2;+\infty[$ . Montrer que $f$ admet une réciproque et déterminer $f^{-1}(x)$ .

Voir la correction

$f$ continue et strictement croissante sur $[2;+\infty[$ , bijective vers $J=[0;+\infty[$ . $y=\sqrt{x-2}\Rightarrow x=y^{2}+2$ , donc $f^{-1}(x)=x^{2}+2$ sur $[0;+\infty[$ .

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Toujours nommer la forme indéterminée avant de calculer. C'est elle qui dicte la technique.

Astuce $\frac{\infty}{\infty}$ de polynômes : ne garder que les termes de plus haut degré.

Astuce $\infty-\infty$ avec racines : multiplier par la quantité conjuguée.

Astuce Limites trigo : se ramener à

\frac{\sin u}{u}\to1

en ajustant le facteur.

Piège Continuité avec paramètre : il faut

\lim^{-}=\lim^{+}=f(x_0)

, la valeur au point comprise.

Piège TVI : donne l'existence ; l'unicité exige la stricte monotonie. Vérifier la continuité d'abord.

Piège Réciproque :

f^{-1}

n'existe que si

f

est continue ET strictement monotone. Préciser

J=f(I)

Formulaire à retenir

Formes indéterminées

\dfrac{0}{0},\ \dfrac{\infty}{\infty},\ \infty-\infty,\ 0\times\infty

Rationnelle en

\pm\infty

\displaystyle\lim\dfrac{a_nx^{n}+\dots}{b_mx^{m}+\dots}=\lim\dfrac{a_nx^{n}}{b_mx^{m}}

Limites trigo

\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1,\quad \lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12

Continuité en

x_0

\displaystyle\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)

TVI

f

continue,

f(a)f(b)&lt;0 \Rightarrow \exists\,c\in\,]a;b[,\ f(c)=0

Réciproque

y=f(x)\iff x=f^{-1}(y)

; symétrie /

y=x

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