Les limites et la continuité ouvrent le programme d'analyse de 2ᵉ Bac Sciences Expérimentales. Cette fiche rassemble l'essentiel pour lever une forme indéterminée, reconnaître une asymptote et appliquer le théorème des valeurs intermédiaires. Au Bac PC/SVT, ces notions reviennent surtout au début du problème d'analyse : bien poser la limite en +∞ ou en un point, puis justifier la continuité, fait gagner des points faciles. Gardez en tête le réflexe : factoriser par le terme dominant avant de conclure.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Limites — Méthodes & Exemples

Math Excellence

1 · Identifier la forme

$\dfrac{\infty}{\infty}$

Infini sur infini

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+1}{x^{2}-3x}$

$\dfrac{0}{0}$

Zéro sur zéro

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}$

$\infty-\infty$

Infini moins infini

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x$

$0\times\infty$

Zéro fois infini

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x$

$1^{\infty}$

Un puissance infini

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}$

$0^{0}$

Zéro puissance zéro

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{x}$

$\infty^{0}$

Infini puissance zéro

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(1+\tfrac1x\big)^{x}$

Pas de F.I. ?

On remplace directement

$\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$

2 · Choisir la bonne méthode

$\dfrac{\infty}{\infty}$

• Factoriser le terme dominant
• Diviser par la plus haute puissance
• Comparer les degrés

Astuce : regarde les degrés !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3x^{3}+2x}{x^{3}-x+1}=3$

$\dfrac{0}{0}$

• Factoriser puis simplifier
• Rationaliser (conjuguée)
• Utiliser les limites usuelles

Astuce : simplifie avant de remplacer !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12$

$\infty-\infty$

• Mettre au même dénominateur
• Factoriser le terme commun
• Multiplier par la conjuguée

Astuce : transforme pour éliminer $\infty-\infty$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12$

$0\times\infty$

• Transformer en $\frac00$ ou $\frac{\infty}{\infty}$
• Écrire sous forme d'un quotient

Astuce : écris en fraction !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

$1^{\infty}\ ,\ 0^{0}\ ,\ \infty^{0}$

• Écrire $f=e^{\,g\ln f}$
• Calculer la limite de $g\ln f$
• Revenir avec l'exponentielle

Astuce : toujours passer par le $\ln$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}=e$

Fonctions trigo

• Se ramener à $\frac{\sin u}{u}\to1$
• Utiliser $\frac{1-\cos u}{u^{2}}\to\frac12$

Astuce : ajuste le facteur devant $\sin$ !

Ex : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5$

3 · Rappels des limites usuelles

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\tan x}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty$

Limite usuelle : $\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1$.

4 · Exemples résolus

1$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2x^{2}+3x-1}{x^{2}-4}=2$

2$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^{2}}=\dfrac12$

3$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^{2}+x}-x=\dfrac12$

4$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

5$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}(1+x)^{\frac1x}=e$

6$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x^{x}=1$

7$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\big(1+\tfrac1x\big)^{x}=e$

8$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\sin 5x}{x}=5$

★ Astuces géniales

• Toujours identifier la forme d'abord.
• Simplifier (ou factoriser) avant de remplacer.
• Connaître les limites usuelles par cœur.
• Formes en puissance : en cas de doute, passer par le $\ln$.

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