QCM — Limites & continuité

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   En \(+\infty\), la limite d'une fonction polynôme est égale à :

   • Ala limite de son terme constant
   • Bla somme de ses coefficients
   • Ctoujours \(+\infty\)
   • ✓la limite de son terme de plus haut degré

   Remarque

   En \(\pm\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son monôme de plus haut degré. Ex. : \(\lim_{x\to+\infty}(-2x^3+5x)=\lim_{x\to+\infty}(-2x^3)=-\infty\).

2. Question 2

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{3x^2+1}{x^2-x}\) vaut :

   • A\(0\)
   • ✓\(3\)
   • C\(1\)
   • D\(+\infty\)

   Remarque

   À l'infini, une fonction rationnelle se comporte comme le quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{3x^2}{x^2}=3\).

3. Question 3

   Parmi ces écritures, laquelle est une forme indéterminée ?

   • A\(\infty+\infty\)
   • B\(3\times\infty\)
   • ✓\(\infty-\infty\)
   • D\(\dfrac{1}{\infty}\)

   Remarque

   \(\infty-\infty\) est indéterminée : le résultat dépend des fonctions. Les autres se lèvent directement : \(\infty+\infty=+\infty\), \(3\times\infty=\pm\infty\), \(\dfrac{1}{\infty}=0\).

4. Question 4

   Une fonction \(f\) est continue en \(a\) lorsque :

   • ✓\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\)
   • B\(f(a)=0\)
   • C\(f\) est dérivable en \(a\)
   • D\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=0\)

   Remarque

   \(f\) est continue en \(a\) si la limite de \(f\) en \(a\) existe et vaut \(f(a)\). La dérivabilité entraîne la continuité, mais la réciproque est fausse.

5. Question 5

   Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors :

   • A\(f\) est constante
   • ✓\(f\) est continue en \(a\)
   • C\(f'(a)=0\)
   • D\(f\) n'est pas continue en \(a\)

   Remarque

   La dérivabilité en \(a\) entraîne la continuité en \(a\). La réciproque est fausse : \(x\mapsto|x|\) est continue en \(0\) mais n'y est pas dérivable.

6. Question 6

   \(f\) est continue sur \([a,b]\), avec \(f(a)<0\) et \(f(b)>0\). On peut affirmer que :

   • A\(f\) est croissante
   • ✓l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution dans \(]a,b[\)
   • Cl'équation \(f(x)=0\) a exactement une solution
   • D\(f\) est positive sur \([a,b]\)

   Remarque

   Théorème des valeurs intermédiaires : \(f\) continue changeant de signe sur \([a,b]\) s'annule au moins une fois dans \(]a,b[\). Pour l'unicité, il faut de plus la stricte monotonie.

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\left(\sqrt{x^2+1}-x\right)\) vaut :

   • A\(+\infty\)
   • B\(1\)
   • ✓\(0\)
   • D\(\tfrac{1}{2}\)

   Remarque

   On multiplie par la quantité conjuguée : \(\sqrt{x^2+1}-x=\dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}\to 0\).

8. Question 8

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}\) vaut :

   • ✓\(1\)
   • B\(0\)
   • C\(+\infty\)
   • Dcette limite n'existe pas

   Remarque

   Limite trigonométrique de référence : \(\lim_{x\to0}\dfrac{\sin x}{x}=1\) (et \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\)).

9. Question 9

   L'image d'un intervalle \([a,b]\) par une fonction continue est :

   • Aun intervalle ouvert
   • Bun ensemble de deux points
   • ✓un segment \([m,M]\)
   • Dtoujours \([a,b]\)

   Remarque

   L'image d'un segment par une fonction continue est un segment \([m,M]\), où \(m\) et \(M\) sont le minimum et le maximum de \(f\) sur \([a,b]\).

10. Question 10

    \(\displaystyle\lim_{x\to 2^{+}}\frac{1}{x-2}\) vaut :

    • A\(-\infty\)
    • B\(0\)
    • C\(1\)
    • ✓\(+\infty\)

    Remarque

    Quand \(x\to 2^{+}\), \(x-2\to 0^{+}\) (positif), donc \(\dfrac{1}{x-2}\to+\infty\). À gauche (\(x\to 2^{-}\)) on aurait \(-\infty\).

11. Question 11

    \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x^2+1}\) vaut :

    • A\(2\)
    • ✓\(0\)
    • C\(+\infty\)
    • D\(1\)

    Remarque

    Le degré du numérateur (\(1\)) est inférieur à celui du dénominateur (\(2\)) : le quotient se comporte comme \(\dfrac{2x}{x^2}=\dfrac{2}{x}\to0\).

12. Question 12

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}\) vaut :

    • A\(1\)
    • B\(0\)
    • ✓\(\dfrac{1}{2}\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    Limite trigonométrique de référence : \(\lim_{x\to0}\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12\).

13. Question 13

    \(f\) est continue et strictement croissante sur \([a,b]\) avec \(f(a)<0<f(b)\). L'équation \(f(x)=0\) admet dans \(]a,b[\) :

    • Aaucune solution
    • ✓exactement une solution
    • Cau moins deux solutions
    • Dune infinité de solutions

    Remarque

    TVI + stricte monotonie : \(f\) change de signe et est strictement croissante, donc \(f(x)=0\) a une solution unique.

14. Question 14

    La fonction \(f(x)=\dfrac{x^2-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\), se prolonge par continuité en \(1\) en posant \(f(1)=\) :

    • A\(0\)
    • B\(1\)
    • ✓\(2\)
    • Dimpossible à prolonger

    Remarque

    Pour \(x\neq1\), \(\dfrac{x^2-1}{x-1}=x+1\to2\) quand \(x\to1\). En posant \(f(1)=2\), \(f\) devient continue en \(1\).

15. Question 15

    Sur \(\mathbb{R}\), une fonction polynôme est :

    • Acontinue seulement en \(0\)
    • ✓continue sur \(\mathbb{R}\)
    • Cjamais continue
    • Dcontinue sauf en ses racines

    Remarque

    Les fonctions polynômes (et, sur leur domaine, les fonctions rationnelles) sont continues.

16. Question 16

    \(\displaystyle\lim_{x\to 3^{-}}\frac{1}{x-3}\) vaut :

    • A\(+\infty\)
    • B\(0\)
    • ✓\(-\infty\)
    • D\(1\)

    Remarque

    Quand \(x\to3^{-}\), \(x-3\to0^{-}\) (négatif), donc \(\dfrac{1}{x-3}\to-\infty\).

17. Question 17

    \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x+1}\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(\sqrt{2}\)
    • ✓\(+\infty\)
    • D\(1\)

    Remarque

    Par composition : \(2x+1\to+\infty\) et \(\sqrt{\,\cdot\,}\to+\infty\), donc \(\sqrt{2x+1}\to+\infty\).

18. Question 18

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sin(3x)}{x}\) vaut :

    • A\(1\)
    • ✓\(3\)
    • C\(0\)
    • D\(\dfrac{1}{3}\)

    Remarque

    \(\dfrac{\sin(3x)}{x}=3\cdot\dfrac{\sin(3x)}{3x}\to3\times1=3\) (car \(\frac{\sin u}{u}\to1\)).