La dérivation est l'outil central de l'étude de fonctions au Bac. Cette fiche récapitule les dérivées usuelles, les opérations (produit, quotient, composée) et le lien entre le signe de la dérivée et les variations. En Sciences Expérimentales, presque chaque problème demande de dresser un tableau de variations, de trouver un extremum ou d'écrire l'équation d'une tangente. L'erreur la plus fréquente : oublier de dériver correctement une fonction composée — repérez toujours la fonction « intérieure » avant d'appliquer la formule.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Dérivation — Méthodes & Formules

Math Excellence

1 · Nombre dérivé & tangente

Nombre dérivé $f'(a)$

• Limite du taux d'accroissement
• Existe si cette limite est finie

$\displaystyle f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$

Tangente en $a$

• Droite de pente $f'(a)$ passant par $(a,f(a))$

$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

Dérivabilité

• Dérivable en $a$ $\Rightarrow$ continue en $a$
• La réciproque est fausse

Astuce : tangente horizontale quand $f'(a)=0$.

Tangente $T_a$ en $A(a,f(a))$, de pente $f'(a)$.

2 · Dérivées usuelles

$(x^{n})'=n\,x^{n-1}$

$(\sqrt{x})'=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}$

$\left(\dfrac1x\right)'=-\dfrac{1}{x^{2}}$

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=1+\tan^{2}x$

$(e^{x})'=e^{x}$

$(\ln x)'=\dfrac{1}{x}$

$(k)'=0$

3 · Opérations & composée

$(u+v)'=u'+v'$

$(k\,u)'=k\,u'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^{2}}$

$(v\circ u)'=u'\times v'(u)$

$(u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1}$

$(\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$

$(e^{u})'=u'\,e^{u}$

$(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$

4 · Variations & convexité

Sens de variation

• $f'>0$ sur $I\Rightarrow f$ croissante
• f'<0 sur $I\Rightarrow f$ décroissante
• Extremum si $f'$ change de signe

Astuce : factorise $f'$ pour lire son signe.

Convexité

• $f''>0\Rightarrow f$ convexe ($\cup$)
• f''<0\Rightarrow f concave ($\cap$)
• Point d'inflexion : $f''$ change de signe

Ex : $f(x)=x^{3}\Rightarrow f''(x)=6x$, inflexion en $0$.

Concave (f''<0) puis convexe ($f''>0$) : inflexion en $I(a,f(a))$.

5 · Exemples résolus

1$(3x^{2}-5x)'=6x-5$

2$\big((2x+1)^{3}\big)'=6(2x+1)^{2}$

3$\big(e^{x^{2}}\big)'=2x\,e^{x^{2}}$

4$\big(\ln(x^{2}+1)\big)'=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$

5$\big(x\,e^{x}\big)'=(x+1)\,e^{x}$

6$\left(\dfrac{x}{x+1}\right)'=\dfrac{1}{(x+1)^{2}}$

★ Astuces géniales

• Bien identifier la forme (produit, quotient, composée) avant de dériver.
• Factoriser $f'$ pour étudier son signe et dresser le tableau de variations.
• Tangente horizontale quand $f'(a)=0$.
• $f''$ donne la convexité et les points d'inflexion.

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