QCM — Dérivation & étude de fonctions

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   L'équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est :

   • A\(y=f(a)(x-a)+f'(a)\)
   • ✓\(y=f'(a)(x-a)+f(a)\)
   • C\(y=f'(a)\,x\)
   • D\(y=f(a)\)

   Remarque

   La tangente en \(a\) a pour équation \(y=f'(a)(x-a)+f(a)\) : pente \(f'(a)\), passant par \((a,f(a))\).

2. Question 2

   Si \(f'(x)>0\) sur un intervalle \(I\), alors sur \(I\) la fonction \(f\) est :

   • Astrictement décroissante
   • Bconstante
   • ✓strictement croissante
   • Dpositive

   Remarque

   Une dérivée strictement positive sur un intervalle signifie que \(f\) y est strictement croissante.

3. Question 3

   Pour deux fonctions dérivables \(u\) et \(v\), \((uv)'\) vaut :

   • ✓\(u'v+uv'\)
   • B\(u'v'\)
   • C\(u'v-uv'\)
   • D\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)

   Remarque

   Dérivée d'un produit : \((uv)'=u'v+uv'\). À ne pas confondre avec la dérivée d'un quotient.

4. Question 4

   La dérivée de \(\dfrac{u}{v}\) (avec \(v\neq0\)) est :

   • A\(\dfrac{u'v+uv'}{v^2}\)
   • B\(\dfrac{u'}{v'}\)
   • ✓\(\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
   • D\(\dfrac{uv'-u'v}{v^2}\)

   Remarque

   \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\). Attention à l'ordre au numérateur et au \(v^2\) au dénominateur.

5. Question 5

   La dérivée de \(\sqrt{u}\) (avec \(u>0\)) est :

   • A\(\dfrac{1}{2\sqrt{u}}\)
   • B\(2\sqrt{u}\,u'\)
   • C\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\)
   • ✓\(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\)

   Remarque

   \((\sqrt{u})'=\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), cas particulier de \((u^n)'\) avec \(n=\tfrac12\).

6. Question 6

   En \(a\), \(f'(a)=0\) et \(f'\) change de signe de \(+\) à \(-\). Alors \(f\) admet en \(a\) :

   • ✓un maximum local
   • Bun minimum local
   • Cun point d'inflexion sans extremum
   • Daucune particularité

   Remarque

   Si \(f'\) passe de positif à négatif en \(a\), \(f\) croît puis décroît : elle admet un maximum local en \(a\).

7. Question 7

   Le nombre dérivé \(f'(a)\) est la limite, quand \(x\to a\), de :

   • A\(\dfrac{f(x)+f(a)}{x-a}\)
   • B\(\dfrac{f(x)}{x}\)
   • ✓\(\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\)
   • D\(\dfrac{x-a}{f(x)-f(a)}\)

   Remarque

   \(f'(a)=\lim_{x\to a}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\) : la limite du taux d'accroissement, c'est-à-dire la pente de la tangente.

8. Question 8

   La dérivée de \(x^5\) est :

   • ✓\(5x^4\)
   • B\(5x^5\)
   • C\(x^4\)
   • D\(4x^5\)

   Remarque

   \((x^n)'=n\,x^{n-1}\), donc \((x^5)'=5x^4\).

9. Question 9

   La tangente à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(a\) est horizontale si :

   • A\(f(a)=0\)
   • B\(f'(a)=1\)
   • C\(f''(a)=0\)
   • ✓\(f'(a)=0\)

   Remarque

   Une tangente horizontale a une pente nulle : \(f'(a)=0\).

10. Question 10

    La dérivée de \(f(x)=(3x-1)^4\) est :

    • A\(4(3x-1)^3\)
    • ✓\(12(3x-1)^3\)
    • C\(3(3x-1)^3\)
    • D\(12(3x-1)^4\)

    Remarque

    \((u^n)'=n\,u'\,u^{n-1}\) avec \(u=3x-1\), \(u'=3\), \(n=4\) : \(4\times3\times(3x-1)^3=12(3x-1)^3\).

11. Question 11

    Pour \(u\) dérivable et \(n\in\mathbb{N}^{*}\), \((u^{n})'\) vaut :

    • A\(n\,u^{n-1}\)
    • B\(u'\,u^{n-1}\)
    • ✓\(n\,u'\,u^{n-1}\)
    • D\(n\,u^{n}\)

    Remarque

    \((u^{n})'=n\,u'\,u^{n-1}\). Ex. \(\big((x^2+1)^3\big)'=3\cdot2x\cdot(x^2+1)^2\).

12. Question 12

    La dérivée de \(\sin x\) est :

    • A\(-\cos x\)
    • ✓\(\cos x\)
    • C\(-\sin x\)
    • D\(\tan x\)

    Remarque

    \((\sin x)'=\cos x\).

13. Question 13

    La dérivée de \(\cos x\) est :

    • A\(\sin x\)
    • ✓\(-\sin x\)
    • C\(\cos x\)
    • D\(-\cos x\)

    Remarque

    \((\cos x)'=-\sin x\) (attention au signe \(-\)).

14. Question 14

    La dérivée de \(\dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^{*}\) est :

    • A\(\dfrac{1}{x^2}\)
    • ✓\(-\dfrac{1}{x^2}\)
    • C\(\ln x\)
    • D\(-\dfrac{1}{x}\)

    Remarque

    \(\left(\dfrac{1}{x}\right)'=-\dfrac{1}{x^2}\), cas de \((x^n)'\) avec \(n=-1\).

15. Question 15

    Pour \(h\) petit, \(f(a+h)\) est proche de :

    • A\(f(a)+h\)
    • ✓\(f(a)+h\,f'(a)\)
    • C\(f'(a)+h\,f(a)\)
    • D\(h\,f'(a)\)

    Remarque

    Approximation affine : \(f(a+h)\approx f(a)+h\,f'(a)\), la courbe étant proche de sa tangente au voisinage de \(a\).

16. Question 16

    Pour \(f(x)=x^2\), la tangente à \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(1\) a pour équation :

    • ✓\(y=2x-1\)
    • B\(y=2x\)
    • C\(y=x^2\)
    • D\(y=2x+1\)

    Remarque

    \(f(1)=1\), \(f'(x)=2x\) donc \(f'(1)=2\) : \(y=2(x-1)+1=2x-1\).

17. Question 17

    En \(a\), \(f'(a)=0\) mais \(f'\) garde le même signe autour de \(a\). Alors :

    • A\(f\) admet un maximum en \(a\)
    • B\(f\) admet un minimum en \(a\)
    • ✓\(f\) n'admet pas d'extremum en \(a\)
    • D\(f\) est constante

    Remarque

    Un extremum exige un changement de signe de \(f'\). Sans changement de signe (ex. \(x\mapsto x^3\) en \(0\)), il n'y a pas d'extremum.

18. Question 18

    La dérivée de la fonction affine \(x\mapsto ax+b\) est :

    • ✓\(a\)
    • B\(ax\)
    • C\(b\)
    • D\(a+b\)

    Remarque

    \((ax+b)'=a\) : la dérivée d'une fonction affine est son coefficient directeur (et \((\text{constante})'=0\)).