QCM — Les fonctions primitives

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   \(F\) est une primitive de \(f\) sur un intervalle \(I\) lorsque :

   • A\(f'=F\) sur \(I\)
   • B\(F=f'\) sur \(I\)
   • ✓\(F'=f\) sur \(I\)
   • D\(F\times f=1\) sur \(I\)

   Remarque

   Par définition, \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si \(F\) est dérivable et \(F'=f\) sur \(I\).

2. Question 2

   Sur un intervalle, deux primitives d'une même fonction diffèrent :

   • ✓d'une constante
   • Bd'un facteur multiplicatif
   • Cde rien : elles sont égales
   • Dd'une fonction affine

   Remarque

   Si \(F\) et \(G\) sont deux primitives de \(f\) sur \(I\), alors \(F-G\) est constante : les primitives forment la famille \(F+k\).

3. Question 3

   Combien de primitives de \(f\) vérifient une condition \(F(x_0)=y_0\) donnée ?

   • Aaucune
   • Bune infinité
   • ✓exactement une
   • Dexactement deux

   Remarque

   Parmi la famille \(F+k\), une seule valeur de \(k\) réalise \(F(x_0)=y_0\) : la primitive vérifiant une condition initiale est unique.

4. Question 4

   Une primitive de \(x^4\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • A\(4x^3\)
   • B\(x^5\)
   • ✓\(\dfrac{x^5}{5}\)
   • D\(5x^5\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\) (pour \(n\neq-1\)), donc une primitive de \(x^4\) est \(\frac{x^5}{5}\).

5. Question 5

   Sur \(]0,+\infty[\), une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) est :

   • A\(-\dfrac{1}{x^2}\)
   • B\(x\ln x\)
   • C\(\dfrac{1}{x^2}\)
   • ✓\(\ln x\)

   Remarque

   \((\ln x)'=\dfrac{1}{x}\), donc \(\ln x\) est une primitive de \(\dfrac{1}{x}\) sur \(]0,+\infty[\).

6. Question 6

   Une primitive de \(\cos x\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • ✓\(\sin x\)
   • B\(-\sin x\)
   • C\(-\cos x\)
   • D\(\cos x\)

   Remarque

   \((\sin x)'=\cos x\). Attention au sens inverse : une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\).

7. Question 7

   Une primitive de \(e^{x}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • A\(x\,e^{x}\)
   • B\(e^{x+1}\)
   • ✓\(e^{x}\)
   • D\(\dfrac{e^{x}}{x}\)

   Remarque

   \((e^{x})'=e^{x}\) : l'exponentielle est sa propre primitive (à une constante près).

8. Question 8

   Une primitive de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

   • A\(\dfrac{1}{x^2+1}\)
   • ✓\(\ln(x^2+1)\)
   • C\((x^2+1)^2\)
   • D\(2\ln(2x)\)

   Remarque

   Forme \(\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+1>0\) et \(u'=2x\) : une primitive est \(\ln|u|=\ln(x^2+1)\).

9. Question 9

   Une primitive de \(f(x)=2x\,(x^2+1)^3\) est :

   • A\((x^2+1)^4\)
   • B\(6(x^2+1)^2\)
   • ✓\(\dfrac{(x^2+1)^4}{4}\)
   • D\(\dfrac{(x^2+1)^2}{2}\)

   Remarque

   Forme \(u'\,u^3\) avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) : une primitive est \(\dfrac{u^4}{4}=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}\).

10. Question 10

    Sur \(]0,+\infty[\), une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est :

    • A\(\ln(x^2)\)
    • ✓\(-\dfrac{1}{x}\)
    • C\(-\dfrac{2}{x^3}\)
    • D\(\dfrac{1}{x^3}\)

    Remarque

    \(\dfrac{1}{x^2}=x^{-2}\) ; une primitive est \(\dfrac{x^{-1}}{-1}=-\dfrac{1}{x}\).

11. Question 11

    Une primitive de \(\sin x\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • A\(\cos x\)
    • ✓\(-\cos x\)
    • C\(\sin x\)
    • D\(-\sin x\)

    Remarque

    \((-\cos x)'=\sin x\), donc une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\).

12. Question 12

    Une primitive de \(x^2\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • A\(2x\)
    • ✓\(\dfrac{x^3}{3}\)
    • C\(3x^3\)
    • D\(\dfrac{x^3}{2}\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}\), donc une primitive de \(x^2\) est \(\dfrac{x^3}{3}\).

13. Question 13

    Une primitive de \(e^{2x}\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • A\(e^{2x}\)
    • B\(2e^{2x}\)
    • ✓\(\dfrac{1}{2}e^{2x}\)
    • D\(x\,e^{2x}\)

    Remarque

    Une primitive de \(e^{ax}\) est \(\dfrac{1}{a}e^{ax}\) : ici \(\dfrac12 e^{2x}\) (on vérifie \(\left(\tfrac12 e^{2x}\right)'=e^{2x}\)).

14. Question 14

    Une primitive de \(\cos(2x)\) sur \(\mathbb{R}\) est :

    • A\(2\sin(2x)\)
    • B\(-\dfrac{1}{2}\sin(2x)\)
    • ✓\(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\)
    • D\(\sin(2x)\)

    Remarque

    \(\left(\tfrac12\sin(2x)\right)'=\tfrac12\cdot2\cos(2x)=\cos(2x)\) : une primitive est \(\dfrac12\sin(2x)\).

15. Question 15

    La primitive \(F\) de \(f(x)=2x\) vérifiant \(F(0)=1\) est :

    • A\(x^2\)
    • ✓\(x^2+1\)
    • C\(2x^2+1\)
    • D\(x^2-1\)

    Remarque

    Les primitives de \(2x\) sont \(x^2+k\) ; la condition \(F(0)=1\) donne \(k=1\), d'où \(F(x)=x^2+1\).