Les suites numériques testent votre rigueur autant que votre calcul. Cette fiche rassemble le vocabulaire (convergence, monotonie, suite bornée), les limites de référence, le théorème des gendarmes et la méthode des suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ). Au Bac Sciences Expérimentales, l'exercice type combine une récurrence à démontrer, une monotonie à établir et une limite à identifier comme point fixe ℓ = f(ℓ). Le réflexe qui débloque tout : étudier le signe de uₙ₊₁ − uₙ pour la monotonie.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Limite d'une suite numérique

Math Excellence

1 · Vocabulaire & convergence

Suite convergente

• $(u_n)$ converge vers $\ell$ (fini)

$\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$

Suite divergente

• $\lim u_n=\pm\infty$
• ou pas de limite (ex. $(-1)^{n}$)

Monotonie & bornée

• Croissante : $u_{n+1}\ge u_n$
• Décroissante : $u_{n+1}\le u_n$
• Bornée : majorée et minorée

Astuce : étudie le signe de $u_{n+1}-u_n$.

Suite convergente : les termes $u_n$ s'accumulent autour de $\ell$.

2 · Limites de référence

$\displaystyle\lim\dfrac1n=0$

$\displaystyle\lim\dfrac1{n^{2}}=0$

$\displaystyle\lim\dfrac1{\sqrt{n}}=0$

$\displaystyle\lim\sqrt{n}=+\infty$

$\displaystyle\lim n^{k}=+\infty\ (k>0)$

$\displaystyle\lim\Big(\tfrac12\Big)^{n}=0$

|q|<1\Rightarrow\lim q^{n}=0

$q>1\Rightarrow\lim q^{n}=+\infty$

$\displaystyle\lim\Big(1+\tfrac1n\Big)^{n}=e$

3 · Théorèmes

Encadrement (gendarmes)

• Si $u_n\le v_n\le w_n$
• et $u_n\to\ell,\ w_n\to\ell$

alors $v_n\to\ell$

Convergence monotone

• Croissante et majorée $\Rightarrow$ converge
• Décroissante et minorée $\Rightarrow$ converge

Comparaison

• $u_n\ge v_n$ et $v_n\to+\infty\Rightarrow u_n\to+\infty$

Arithmétique & géométrique

• Arith. : $u_n=u_0+nr$
• Géo. : $u_n=u_0\,q^{\,n}$

4 · Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$

Limite = point fixe

• Si $u_n\to\ell$ et $f$ continue

alors $\ell=f(\ell)$

Méthode

• Montrer $(u_n)$ monotone et bornée (récurrence)
• En déduire qu'elle converge
• Résoudre $\ell=f(\ell)$

Escalier : $u_{n+1}=f(u_n)$ converge vers le point fixe $\ell$ où $y=f(x)$ coupe $y=x$.

5 · Exemples résolus

1$\displaystyle\lim\dfrac{2n+1}{n+3}=2$

2$\displaystyle\lim\dfrac{n^{2}-n}{2n^{2}+1}=\dfrac12$

3$\displaystyle\lim\Big(\tfrac12\Big)^{n}=0$

4$\displaystyle\lim\Big(1+\tfrac1n\Big)^{n}=e$

5$u_n=\Big(\tfrac13\Big)^{n}\Rightarrow \lim u_n=0$

6$u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\Rightarrow \ell=\sqrt{\ell+2}\Rightarrow \ell=2$

★ Astuces géniales

• Factoriser le terme dominant (comme pour les fonctions).
• Géométrique : |q|<1\Rightarrow q^{n}\to0.
• Monotone + bornée $\Rightarrow$ convergente.
• Récurrence : la limite vérifie $\ell=f(\ell)$.

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