La fonction logarithme népérien est un pilier de l'analyse de terminale. Cette fiche réunit ses propriétés algébriques (ln(ab), ln(a/b), ln(aⁿ)), sa dérivée, ses limites clés et les croissances comparées comme x ln x → 0. En PC/SVT, ln apparaît dans les études de fonctions, les résolutions d'équations et souvent dans un calcul d'aire. Attention au domaine : ln n'est défini que pour x > 0 — pensez toujours à préciser l'ensemble de définition avant de dériver ou de résoudre.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Fonction logarithme népérien

Math Excellence

1 · Définition & variations

Définition

• Définie sur $]0,+\infty[$
• Primitive de $\dfrac1x$ nulle en $1$

$\ln(1)=0,\quad \ln(e)=1$

Sens de variation

• $(\ln x)'=\dfrac1x>0$ sur $]0,+\infty[$
• Strictement croissante
• Concave : (\ln x)''=-\dfrac1{x^{2}}<0

Signe

• $\ln x>0$ si $x>1$
• \ln x<0 si 0<x<1

Astuce : $\ln x=0\Leftrightarrow x=1$.

$C_{\ln}$ : asymptote verticale $x=0$, passe par $(1,0)$ et $(e,1)$.

2 · Propriétés algébriques

$\ln(ab)=\ln a+\ln b$

$\ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b$

$\ln\dfrac1a=-\ln a$

$\ln(a^{n})=n\ln a$

$\ln\sqrt{a}=\dfrac12\ln a$

$\ln(e^{x})=x$

$e^{\ln x}=x\ (x>0)$

$\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}$

3 · Limites

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to1}\dfrac{\ln x}{x-1}=1$

4 · Dérivées & primitives

Dérivées

• $(\ln x)'=\dfrac1x$
• $(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}$
• $(\ln|x|)'=\dfrac1x$

Primitives

• $\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|$
• $\dfrac1x\ \Rightarrow\ \ln|x|$

Ex : $\dfrac{2x}{x^{2}+1}\Rightarrow \ln(x^{2}+1)$

5 · Équations & symétrie avec $\exp$

Équations & inéquations

• $\ln a=\ln b\Leftrightarrow a=b$ $(a,b>0)$
• \ln a<\ln b\Leftrightarrow a<b

Astuce : pose la condition d'existence $(>0)$ d'abord.

Réciproque de $\exp$

• $\ln$ et $\exp$ sont réciproques
• Courbes symétriques par rapport à $y=x$

$y=\ln x$ et $y=e^{x}$ : symétriques par rapport à $y=x$ (points $(e,1)$ et $(1,e)$).

★ Astuces géniales

• Domaine d'abord : $\ln$ n'existe que pour un argument $>0$.
• Transformer produits/quotients en sommes avec les propriétés.
• Croissance comparée : $\dfrac{\ln x}{x}\to0$ (le $\ln$ l'emporte lentement).
• $\ln$ et $\exp$ réciproques : $\ln(e^{x})=x$, $e^{\ln x}=x$.

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