QCM — Fonction logarithme népérien

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Pour \(a>0\) et \(b>0\), \(\ln(ab)\) vaut :

   • A\(\ln a\times\ln b\)
   • ✓\(\ln a+\ln b\)
   • C\(\ln a-\ln b\)
   • D\((\ln a)(\ln b)\)

   Remarque

   \(\ln\) transforme le produit en somme : \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\).

2. Question 2

   Quelle égalité est vraie ?

   • A\(\ln(0)=1\)
   • B\(\ln(1)=1\)
   • ✓\(\ln(1)=0\)
   • D\(\ln(e)=0\)

   Remarque

   \(\ln(1)=0\) et \(\ln(e)=1\). Attention : \(\ln(0)\) n'existe pas, \(\ln\) n'étant défini que sur \(]0,+\infty[\).

3. Question 3

   L'ensemble de définition de \(x\mapsto\ln(x)\) est :

   • A\(\mathbb{R}\)
   • ✓\(]0,+\infty[\)
   • C\([0,+\infty[\)
   • D\(\mathbb{R}^{*}\)

   Remarque

   \(\ln\) n'est défini que pour les réels strictement positifs : \(D=]0,+\infty[\).

4. Question 4

   \((\ln x)'\) vaut :

   • A\(\ln x\)
   • B\(x\)
   • ✓\(\dfrac{1}{x}\)
   • D\(-\dfrac{1}{x^2}\)

   Remarque

   La dérivée de \(\ln\) sur \(]0,+\infty[\) est \(\dfrac{1}{x}\). Plus généralement \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\).

5. Question 5

   La dérivée de \(\ln(x^2+1)\) est :

   • A\(\dfrac{1}{x^2+1}\)
   • B\(2x\)
   • C\(\dfrac{x^2+1}{2x}\)
   • ✓\(\dfrac{2x}{x^2+1}\)

   Remarque

   \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=x^2+1\), \(u'=2x\) : donc \(\dfrac{2x}{x^2+1}\).

6. Question 6

   \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}\ln(x)\) vaut :

   • ✓\(-\infty\)
   • B\(+\infty\)
   • C\(0\)
   • D\(1\)

   Remarque

   Quand \(x\to0^{+}\), \(\ln(x)\to-\infty\). Et \(\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x}\) vaut :

   • A\(+\infty\)
   • ✓\(0\)
   • C\(1\)
   • D\(e\)

   Remarque

   Croissances comparées : \(\ln x\) croît bien moins vite que \(x\), donc \(\dfrac{\ln x}{x}\to0\). De même \(x\ln x\to0\) quand \(x\to0^{+}\).

8. Question 8

   La solution de l'équation \(\ln(x)=1\) est :

   • A\(x=1\)
   • B\(x=0\)
   • C\(x=10\)
   • ✓\(x=e\)

   Remarque

   \(\ln(x)=1\iff x=e^{1}=e\approx2{,}718\).

9. Question 9

   Pour \(a>0\), \(\ln(a^5)\) vaut :

   • ✓\(5\ln a\)
   • B\((\ln a)^5\)
   • C\(\ln(5a)\)
   • D\(5+\ln a\)

   Remarque

   \(\ln(a^n)=n\ln a\), donc \(\ln(a^5)=5\ln a\).

10. Question 10

    L'inéquation \(\ln(x)<0\) (avec \(x>0\)) a pour solution :

    • A\(x>1\)
    • B\(x<0\)
    • ✓\(0<x<1\)
    • D\(x>e\)

    Remarque

    \(\ln\) est strictement croissante et \(\ln(1)=0\), donc \(\ln(x)<0\iff 0<x<1\).

11. Question 11

    Pour \(a>0\) et \(b>0\), \(\ln\!\left(\dfrac{a}{b}\right)\) vaut :

    • A\(\dfrac{\ln a}{\ln b}\)
    • ✓\(\ln a-\ln b\)
    • C\(\ln a+\ln b\)
    • D\(\ln(a-b)\)

    Remarque

    \(\ln\) transforme le quotient en différence : \(\ln\frac{a}{b}=\ln a-\ln b\).

12. Question 12

    \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\ln x\) vaut :

    • ✓\(+\infty\)
    • B\(0\)
    • C\(1\)
    • Dune valeur finie

    Remarque

    \(\ln\) est strictement croissante et non majorée : \(\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\).

13. Question 13

    Pour \(a>0\), \(\ln(\sqrt{a})\) vaut :

    • A\(2\ln a\)
    • ✓\(\dfrac{1}{2}\ln a\)
    • C\(\sqrt{\ln a}\)
    • D\(\ln a-1\)

    Remarque

    \(\sqrt a=a^{1/2}\), donc \(\ln(\sqrt a)=\dfrac12\ln a\).

14. Question 14

    Sur \(]0,+\infty[\), la dérivée de \(\ln(3x)\) est :

    • A\(\dfrac{3}{x}\)
    • B\(\dfrac{1}{3x}\)
    • ✓\(\dfrac{1}{x}\)
    • D\(\dfrac{3}{\ln x}\)

    Remarque

    \((\ln u)'=\dfrac{u'}{u}\) avec \(u=3x\) : \(\dfrac{3}{3x}=\dfrac{1}{x}\).

15. Question 15

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x\ln x\) vaut :

    • A\(-\infty\)
    • ✓\(0\)
    • C\(1\)
    • D\(+\infty\)

    Remarque

    Croissances comparées : \(x\ln x\to0\) quand \(x\to0^{+}\) (\(x\) l'emporte sur \(\ln x\)).

16. Question 16

    \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}\) vaut :

    • A\(0\)
    • ✓\(1\)
    • C\(+\infty\)
    • D\(e\)

    Remarque

    C'est le nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\) : \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1\).

17. Question 17

    Sur \(]1,+\infty[\), l'équation \(\ln(x)+\ln(x-1)=\ln 6\) a pour solution :

    • A\(x=2\)
    • ✓\(x=3\)
    • C\(x=6\)
    • D\(x=7\)

    Remarque

    \(\ln\big(x(x-1)\big)=\ln6\Rightarrow x^2-x-6=0\Rightarrow x=3\) (on écarte \(x=-2\), hors domaine).

18. Question 18

    L'inéquation \(\ln(x)\ge 1\) (avec \(x>0\)) a pour solution :

    • A\(x\ge 1\)
    • B\(0<x\le e\)
    • ✓\(x\ge e\)
    • D\(x\ge 10\)

    Remarque

    \(\ln\) est strictement croissante et \(\ln e=1\), donc \(\ln x\ge1\iff x\ge e\).