2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 6

Les fonctions logarithmes

La fonction logarithme népérien apparaît partout en analyse de terminale, des études de fonctions aux calculs d'aire. Ce cours construit la fonction ln, établit ses propriétés algébriques (le logarithme d'un produit, d'un quotient, d'une puissance), sa dérivée et ses limites, sans oublier les croissances comparées. Un accent particulier est mis sur le domaine de définition : ln n'existe que pour des nombres strictement positifs, une contrainte à vérifier avant toute dérivation ou résolution d'équation. En PC/SVT, savoir manipuler ln avec aisance débloque une grande partie du problème d'analyse et prépare directement l'étude de la fonction exponentielle.

1 · Résumé du cours

Une seule fonction usuelle résistait à la primitivation : $x\mapsto\tfrac1x$ . Aucune puissance $x^{n}$ ne convient, car $\tfrac{x^{n+1}}{n+1}$ n'a pas de sens pour $n=-1$ . Le logarithme est né pour combler ce trou — et il transforme, au passage, les produits en sommes.

1.1 La fonction logarithme népérien

Définition On appelle logarithme népérien, noté

\ln

, l'unique primitive de

\tfrac1x

sur

]0,+\infty[

qui s'annule en

1

\boxed{\ln'(x)=\frac1x\quad\text{et}\quad \ln(1)=0.}

\ln

est continue et strictement croissante de

]0,+\infty[

sur

\mathbb{R}

: c'est une bijection. L'équation

\ln x=1

a donc une unique solution, notée

e\approx2{,}718

\ln(e)=1

, et

\ln(e^{n})=n

1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous

a>0,\ b>0

n\in\mathbb{Z}

\boxed{\ln(ab)=\ln a+\ln b},\quad \ln\frac1b=-\ln b,\quad \ln\frac ab=\ln a-\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,\quad \ln\sqrt a=\tfrac12\ln a.

L'erreur n°1 du chapitre

\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b

. La propriété concerne le produit, jamais la somme. Vérifiez :

\ln(1+1)=\ln2\approx0{,}69

, alors que

\ln1+\ln1=0

1.3 Dérivée, variations & concavité

Étude Sur

]0,+\infty[

\ln'(x)=\tfrac1x>0

donc

\ln

est strictement croissante ;

\ln''(x)=-\tfrac1{x^{2}}&lt;0

donc

\ln

est concave. Signe :

\ln x=0\iff x=1

\ln x>0\iff x>1

\ln x&lt;0\iff 0&lt;x&lt;1

Tangente en

(1;0)

et inégalité clé Comme

\ln(1)=0

\ln'(1)=1

, la tangente en

(1;0)

est

y=x-1

. La concavité place la courbe au-dessous de ses tangentes, d'où

\boxed{\ln x\le x-1\quad(\forall x>0),}

avec égalité uniquement en

x=1

\ln

est croissante et concave sur

]0,+\infty[

, passe par

(1;0)

(e;1)

, et

\displaystyle\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty

(l'axe

(Oy)

est asymptote). En

+\infty

, branche parabolique de direction

(Ox)

\ln

croît de plus en plus lentement.

1.4 Limites & croissances comparées

À connaître par cœur

\lim_{x\to0^{+}}\ln x=-\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty,\qquad \lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1,\qquad \lim_{x\to1}\frac{\ln x}{x-1}=1,

\lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^{n}}=0\ (n>0),\qquad \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0.

Croissances comparées : qui gagne ? Face à un conflit entre

\ln

et une puissance de

x

, c'est toujours la puissance qui l'emporte :

\ln

part à l'infini, mais si lentement que

\tfrac{\ln x}{x}\to0

, et

x\ln x\to0

alors même que

\ln x\to-\infty

. Les deux limites en

0

1

ne sont que le nombre dérivé

\ln'(1)=1

1.5 Dérivée logarithmique & primitives

Dérivée de

\ln u

u

est dérivable et strictement positive sur

I

\boxed{(\ln u)'=\dfrac{u'}{u}}

, et plus généralement si

u

ne s'annule pas,

(\ln|u|)'=\tfrac{u'}{u}

. En lisant à l'envers : une primitive de

\tfrac{u'}{u}

est

\ln|u|

(\ln(x^{2}+1))'=\frac{2x}{x^{2}+1},\qquad (\ln(3x-5))'=\frac{3}{3x-5}\ \big(x>\tfrac53\big).

1.6 Équations & inéquations

Résolution Pour

a>0,\ b>0

\ln a=\ln b\iff a=b

\ln a&lt;\ln b\iff a&lt;b

(stricte croissance).

Méthode — résoudre une équation avec

\ln

① Poser la condition d'existence : tout argument d'un

\ln

doit être

>0

(l'étape qu'on oublie) ; ② regrouper les

\ln

avec les propriétés algébriques ; ③ « enlever » les

\ln

par stricte croissance ; ④ résoudre, puis confronter à la condition d'existence pour écarter les solutions parasites. Pour un système : poser

X=\ln x,\ Y=\ln y

(linéaire) ou utiliser

\ln x+\ln y=\ln(xy)

(somme–produit).

1.7 Logarithme de base $a$

Définition Pour

a>0,\ a\neq1

, le logarithme de base $a$ est

\boxed{\log_a(x)=\dfrac{\ln x}{\ln a}}\ (x>0)

. La condition

a\neq1

est indispensable (sinon

\ln a=0

). Simple multiple de

\ln

, il en hérite :

\log_a(1)=0

\log_a(a)=1

\log_a(xy)=\log_a x+\log_a y

\log_a(x^{n})=n\log_a x

Étude & résolution

\log_a'(x)=\dfrac{1}{x\ln a}

: le signe est celui de

\ln a

— croissante si

a>1

, décroissante si

0&lt;a&lt;1

. Courbe par

(1;0)

, asymptote

(Oy)

. Pour résoudre :

\boxed{\log_a x=b\iff x=a^{b}}\qquad(\text{ex. } \log_2 x=3\iff x=8).

Cas particulier : le logarithme décimal

\log(x)=\log_{10}(x)=\tfrac{\ln x}{\ln 10}

, avec

\log(10^{n})=n

— il « compte les zéros » (ordre de grandeur), d'où son usage en chimie :

\mathrm{pH}=-\log[\mathrm{H_3O^+}]

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Propriétés algébriques

Produits/quotients/puissances → sommes.

Dérivée & courbe

$\ln'=\tfrac1x$ , concave, $\ln x\le x-1$ .

Limites

Croissances comparées $\tfrac{\ln x}{x}$ , $x\ln x$ .

Dérivée $(\ln u)'$

$\tfrac{u'}{u}$ et primitive $\ln|u|$ .

Équations & systèmes

Domaine d'abord, confronter à la fin.

Base $a$

$\log_a x=\tfrac{\ln x}{\ln a}$ ; sens selon $\ln a$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Simplification

Exercice 1

Simplifier $A=\ln 8-\ln 2$ et $B=\ln(e^{3})+\ln\sqrt{e}$ .

Voir la correction

$A=\ln\dfrac{8}{2}=\ln4=2\ln2$ . $B=3+\tfrac12=\dfrac72$ . ∎

Équation + condition d'existence

Exercice 2

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $\ln(x)+\ln(x-2)=\ln(3)$ .

Voir la correction

Condition d'existence : $x>0$ ET $x-2>0$ , donc $\boxed{x>2}$ .

Résolution : $\ln(x(x-2))=\ln3\Rightarrow x(x-2)=3\Rightarrow x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0$ , d'où $x=3$ ou $x=-1$ .

Confrontation : la condition $x>2$ écarte $-1$ . Vérif : $\ln3+\ln1=\ln3$ ✓. Unique solution $\boxed{x=3}$ . ∎

Limites & variations

Exercice 3

Soit $f(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ sur $]0,+\infty[$ . Limites aux bornes et variations.

Voir la correction

En $0^{+}$ : $\ln x\to-\infty$ et $\tfrac1x\to+\infty$ , donc $f\to-\infty$ (asymptote $x=0$ ). En $+\infty$ : croissance comparée, $f\to0$ (asymptote $y=0$ ).

Variations : $f'(x)=\dfrac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^{2}}=\dfrac{1-\ln x}{x^{2}}$ . Signe de $1-\ln x$ : $>0\iff x<e$ . Donc $f$ croît sur $]0,e]$ , décroît sur $[e,+\infty[$ , maximum $f(e)=\tfrac1e\approx0{,}37$ . ∎

Inéquation, base

a&lt;1

Exercice 4

Résoudre $\log_{0{,}5}(x)>2$ .

Voir la correction

Condition d'existence : $x>0$ . Base $a=0{,}5\in\,]0,1[$ : $\log_a$ décroissante. Comme $2=\log_{0{,}5}(0{,}5^{2})=\log_{0{,}5}(0{,}25)$ , l'inéquation $\log_{0{,}5}(x)>\log_{0{,}5}(0{,}25)$ change de sens : $x<0{,}25$ . Avec le domaine : $\boxed{S=\,]0\,;0{,}25[}$ . ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Avant de résoudre une équation avec

\ln

, fixe le domaine (

x>0

) — puis confronte les solutions à la fin.

Astuce Pour lever une F.I., rappelle-toi : en

+\infty

, $x$ gagne toujours contre $\ln x$ ; en

0^+

x\ln x\to0

Astuce Reconnaître

\tfrac{u'}{u}

: c'est la dérivée de

\ln|u|

, donc sa primitive.

Piège

\ln(a+b)\neq\ln a+\ln b

— la règle porte sur le produit, pas la somme.

Piège Primitive de

\tfrac{u'}{u}

: c'est

\ln|u|

avec la valeur absolue (pour couvrir

u&lt;0

Piège En base

0&lt;a&lt;1

\log_a

est décroissante : les inéquations changent de sens.

Formulaire à retenir

Règles

\ln(ab)=\ln a+\ln b,\quad \ln(a^{n})=n\ln a,\quad \ln\dfrac{a}{b}=\ln a-\ln b

Valeurs

\ln 1=0,\quad \ln e=1

Dérivée

\ln'(x)=\dfrac1x,\quad (\ln u)'=\dfrac{u'}{u}

Primitive

\dfrac{u'}{u}\to \ln|u|

Limites

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln x}{x}=0,\ \lim_{x\to0^{+}}x\ln x=0,\ \lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+x)}{x}=1

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les fonctions logarithmes

1 · Résumé du cours

1.1 La fonction logarithme népérien

1.2 Propriétés algébriques

1.3 Dérivée, variations & concavité

1.4 Limites & croissances comparées

1.5 Dérivée logarithmique & primitives

1.6 Équations & inéquations

1.7 Logarithme de base aaa

2 · Feuille de route

Propriétés algébriques

Dérivée & courbe

Limites

Dérivée (ln⁡u)′(\ln u)'(lnu)′

Équations & systèmes

Base aaa

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.7 Logarithme de base $a$

Dérivée $(\ln u)'$

Base $a$