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2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 7

Les nombres complexes

Les nombres complexes offrent un pont saisissant entre le calcul algébrique et la géométrie du plan. Ce cours introduit le nombre i, la forme algébrique a + ib, le conjugué, le module et l'argument, puis la forme trigonométrique et ses interprétations géométriques (distances, alignements, angles). En filière PC/SVT, l'exercice de complexes est réputé « rentable » : très méthodique, il récompense la régularité plus que l'inspiration. Le cours vous montre comment passer sans erreur d'une forme à l'autre et comment relier une écriture complexe à une configuration du plan — la compétence qui fait la différence le jour de l'examen.

1 · Résumé du cours

L'équation x2=−1x^{2}=-1 n'a aucune solution réelle. Plutôt que de s'arrêter là, on crée un nombre ii dont le carré vaut −1-1 — et l'on découvre un ensemble où toute équation du second degré a des solutions, et où la géométrie du plan se calcule à l'algèbre. C'est le chapitre le plus riche du programme.

1.1 Forme algébrique

Définition Il existe un ensemble C\mathbb{C}, contenant R\mathbb{R}, et un élément ii tel que i2=−1\boxed{i^{2}=-1}. Tout z∈Cz\in\mathbb{C} s'écrit de manière unique sous la forme algébrique z=a+ibz=a+ib (a,b∈Ra,b\in\mathbb{R}), avec a=Re⁡(z)a=\operatorname{Re}(z) la partie réelle et b=Im⁡(z)b=\operatorname{Im}(z) la partie imaginaire.
Im⁡(z)\operatorname{Im}(z) est un RÉEL La partie imaginaire de z=3+2iz=3+2i est 22, pas 2i2i. Erreur de notation très fréquente — et elle fausse tous les calculs qui suivent.
Égalité & cas particuliers a+ib=a′+ib′  ⟺  {a=a′b=b′z=0  ⟺  {a=0b=0a+ib=a'+ib'\iff\begin{cases}a=a'\\ b=b'\end{cases}\qquad z=0\iff\begin{cases}a=0\\ b=0\end{cases} zz est réel   ⟺  Im⁡(z)=0\iff\operatorname{Im}(z)=0 ; zz est imaginaire pur   ⟺  Re⁡(z)=0\iff\operatorname{Re}(z)=0.
Une égalité complexe = deux équations réelles Le principe le plus utile du chapitre : identifier parties réelles et imaginaires transforme une équation dans C\mathbb{C} en deux équations dans R\mathbb{R}. À retenir aussi : les puissances de ii sont périodiques de période 4 (i0=1, i1=i, i2=−1, i3=−ii^0=1,\ i^1=i,\ i^2=-1,\ i^3=-i) — pour ini^n, on divise nn par 44 et on garde le reste.

1.2 Opérations & conjugué

Conjugué Le conjugué de z=a+ibz=a+ib est zˉ=a−ib\boxed{\bar z=a-ib} — image symétrique de zz par rapport à l'axe des réels. On a z+z′‾=zˉ+z′ˉ,z z′‾=zˉ z′ˉ,(zz′)‾=zˉz′ˉ,zn‾=(zˉ)n,\overline{z+z'}=\bar z+\bar{z'},\quad \overline{z\,z'}=\bar z\,\bar{z'},\quad \overline{\Big(\tfrac{z}{z'}\Big)}=\tfrac{\bar z}{\bar{z'}},\quad \overline{z^{n}}=(\bar z)^{n}, et surtout z zˉ=a2+b2=∣z∣2\boxed{z\,\bar z=a^{2}+b^{2}=|z|^{2}}. Enfin : z∈R  ⟺  zˉ=zz\in\mathbb{R}\iff\bar z=z ; zz imaginaire pur   ⟺  zˉ=−z\iff\bar z=-z.
Méthode — calculer un quotient Pour écrire zz′\dfrac{z}{z'} sous forme algébrique, on multiplie numérateur et dénominateur par le conjugué du dénominateur : le dénominateur devient le réel ∣z′∣2|z'|^{2}. Ex. 11+i=1−i(1+i)(1−i)=1−i2=12−12i\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)}=\dfrac{1-i}{2}=\tfrac12-\tfrac12 i.

1.3 Module

Module Le module de z=a+ibz=a+ib est le réel positif ∣z∣=a2+b2\boxed{|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}} — c'est la distance OMOM. Propriétés : ∣z z′∣=∣z∣ ∣z′∣,∣zz′∣=∣z∣∣z′∣,∣zn∣=∣z∣n,∣zˉ∣=∣z∣,∣z+z′∣≤∣z∣+∣z′∣.|z\,z'|=|z|\,|z'|,\quad \Big|\tfrac{z}{z'}\Big|=\tfrac{|z|}{|z'|},\quad |z^{n}|=|z|^{n},\quad |\bar z|=|z|,\quad |z+z'|\le|z|+|z'|.
Le module est une DISTANCE La clé de toute la géométrie complexe : AB=∣zB−zA∣\boxed{AB=|z_B-z_A|}. Dès que vous voyez le module d'une différence, pensez « distance » — et l'exercice devient géométrique. Ainsi ∣z−zA∣=r|z-z_A|=r est un cercle de centre AA, rayon rr ; et ∣z−zA∣=∣z−zB∣|z-z_A|=|z-z_B| est la médiatrice de [AB][AB].

1.4 Argument & forme trigonométrique

Argument & forme trigonométrique Pour z≠0z\neq0 d'image MM, un argument est une mesure de l'angle (u⃗,OM→)\big(\vec u,\overrightarrow{OM}\big), noté arg⁡(z)\arg(z) (modulo 2π2\pi). Tout z≠0z\neq0 s'écrit z=r(cos⁡θ+isin⁡θ),r=∣z∣, θ=arg⁡(z).\boxed{z=r\big(\cos\theta+i\sin\theta\big)},\qquad r=|z|,\ \theta=\arg(z). Propriétés : arg⁡(zz′)=arg⁡z+arg⁡z′\arg(zz')=\arg z+\arg z', arg⁡zz′=arg⁡z−arg⁡z′\arg\tfrac{z}{z'}=\arg z-\arg z', arg⁡(zn)=narg⁡z\arg(z^n)=n\arg z, arg⁡(zˉ)=−arg⁡z\arg(\bar z)=-\arg z.
Le cosinus SEUL ne suffit pas Pour trouver θ\theta, on résout le système cos⁡θ=ar\cos\theta=\tfrac ar ET sin⁡θ=br\sin\theta=\tfrac br. Ainsi cos⁡θ=12\cos\theta=\tfrac12 admet π3\tfrac\pi3 et −π3-\tfrac\pi3 : c'est le sinus qui tranche le signe. Toujours utiliser les deux — l'erreur la plus fréquente du chapitre.

1.5 Notation exponentielle : Moivre & Euler

Forme exponentielle On pose eiθ=cos⁡θ+isin⁡θ\boxed{e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta}. Tout z≠0z\neq0 s'écrit alors z=r eiθ\boxed{z=r\,e^{i\theta}}, avec eiθeiθ′=ei(θ+θ′)e^{i\theta}e^{i\theta'}=e^{i(\theta+\theta')}, eiθ‾=e−iθ\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta} et ∣eiθ∣=1\big|e^{i\theta}\big|=1.
Moivre & Euler Moivre : pour n∈Zn\in\mathbb{Z}, (cos⁡θ+isin⁡θ)n=cos⁡(nθ)+isin⁡(nθ)\boxed{(\cos\theta+i\sin\theta)^{n}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)}, soit (eiθ)n=einθ(e^{i\theta})^n=e^{in\theta}. Euler : cos⁡θ=eiθ+e−iθ2,sin⁡θ=eiθ−e−iθ2i\boxed{\cos\theta=\dfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}},\quad \boxed{\sin\theta=\dfrac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}}.
Deux formules, sens opposés Moivre sert à développer (calculer znz^n, exprimer cos⁡3θ\cos 3\theta en fonction de cos⁡θ\cos\theta) ; Euler sert à linéariser (transformer cos⁡3θ\cos^3\theta en somme de cos⁡(kθ)\cos(k\theta), pour ensuite primitiver). Ex. cos⁡2θ=(eiθ+e−iθ2)2=1+cos⁡2θ2\cos^{2}\theta=\Big(\tfrac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\Big)^{2}=\dfrac{1+\cos 2\theta}{2}.

1.6 Complexes & géométrie

Plan complexe Le plan muni d'un repère orthonormé direct (O,u⃗,v⃗)(O,\vec u,\vec v) : à z=a+ibz=a+ib on associe le point M(a,b)M(a,b), image de zz ; réciproquement zz est l'affixe de MM. Alors zAB→=zB−zAz_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A et le milieu de [AB][AB] a pour affixe zA+zB2\tfrac{z_A+z_B}{2}.
Re Im M(z) a b r θ
Affixe z=a+ibz=a+ib : le module r=∣z∣=OMr=|z|=OM et l'argument θ=arg⁡(z)\theta=\arg(z), avec a=rcos⁡θa=r\cos\theta et b=rsin⁡θb=r\sin\theta.
Angles & configurations arg⁡(zB−zA)\arg(z_B-z_A) mesure l'angle (u⃗,AB→)\big(\vec u,\overrightarrow{AB}\big), et (AB→,AC→)=arg⁡zC−zAzB−zA [2π].\boxed{\big(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\big)=\arg\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\ [2\pi].} En posant Z=zC−zAzB−zAZ=\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} : A,B,CA,B,C alignés   ⟺  Z∈R\iff Z\in\mathbb{R} ; (AB)⊥(AC)  ⟺  Z(AB)\perp(AC)\iff Z imaginaire pur ; ABCABC isocèle en A  ⟺  ∣Z∣=1A\iff|Z|=1 ; équilatéral   ⟺  Z=e±iπ/3\iff Z=e^{\pm i\pi/3}.

1.7 L'équation du second degré dans C\mathbb{C}

az2+bz+c=0az^{2}+bz+c=0, coefficients réels Soit Δ=b2−4ac\Delta=b^{2}-4ac. Si Δ>0\Delta>0 : deux racines réelles −b±Δ2a\tfrac{-b\pm\sqrt\Delta}{2a} ; si Δ=0\Delta=0 : racine double −b2a-\tfrac{b}{2a} ; si \Delta<0 : deux racines complexes conjuguées z1=−b+i∣Δ∣2a,z2=z1‾=−b−i∣Δ∣2a.z_1=\dfrac{-b+i\sqrt{|\Delta|}}{2a},\qquad z_2=\overline{z_1}=\dfrac{-b-i\sqrt{|\Delta|}}{2a}. Somme et produit : z1+z2=−baz_1+z_2=-\tfrac ba, z1z2=caz_1z_2=\tfrac ca.
Dans C\mathbb{C}, il y a TOUJOURS des solutions Un discriminant négatif ne veut plus dire « pas de solution », mais « deux solutions conjuguées ». Elles le sont parce que a,b,ca,b,c sont réels : avec des coefficients complexes, les racines n'auraient aucune raison d'être conjuguées.

1.8 Transformations & écriture complexe

Les trois transformations Soit M(z)M(z) et M′(z′)M'(z') son image :
  • Translation de vecteur d'affixe bb : z′=z+bz'=z+b ;
  • Homothétie de centre Ω(ω)\Omega(\omega), rapport k∈R∗k\in\mathbb{R}^{*} : z′−ω=k(z−ω)z'-\omega=k(z-\omega) ;
  • Rotation de centre Ω(ω)\Omega(\omega), angle θ\theta : z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega).
Reconnaître une transformation Devant z′=λz+βz'=\lambda z+\beta : λ=1⇒\lambda=1\Rightarrow translation ; λ∈R∖{0,1}⇒\lambda\in\mathbb{R}\setminus\{0,1\}\Rightarrow homothétie de rapport λ\lambda ; ∣λ∣=1, λ≠1⇒|\lambda|=1,\ \lambda\neq1\Rightarrow rotation d'angle arg⁡λ\arg\lambda. Le centre ω\omega est le point fixe : on résout ω=λω+β\omega=\lambda\omega+\beta.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

1

Forme algébrique

Calculs, conjugué, quotient par le conjugué.

2

Module & distance

∣z∣|z|, AB=∣zB−zA∣AB=|z_B-z_A|, cercle & médiatrice.

3

Argument & forme trigo

Système cos⁡\cos/sin⁡\sin, r(cos⁡θ+isin⁡θ)r(\cos\theta+i\sin\theta).

4

Exponentielle : Moivre & Euler

Puissances (Moivre), linéarisation (Euler).

5

Équations

Second degré, racines conjuguées, somme/produit.

6

Géométrie & transformations

Angles, configurations, rotation/homothétie.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Forme algébrique

Exercice 1

Écrire sous forme a+iba+ib : z=3+i1−iz=\dfrac{3+i}{1-i}.

Voir la correction

On multiplie par le conjugué du dénominateur : z=(3+i)(1+i)(1−i)(1+i)=3+3i+i−11+1=2+4i2=1+2iz=\dfrac{(3+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{3+3i+i-1}{1+1}=\dfrac{2+4i}{2}=\boxed{1+2i}. ∎

Module, argument & Moivre

Exercice 2

Écrire z=1+i3z=1+i\sqrt3 sous forme exponentielle, puis calculer z6z^{6}.

Voir la correction

Module : ∣z∣=1+3=2|z|=\sqrt{1+3}=2. Argument : cos⁡θ=12\cos\theta=\tfrac12 ET sin⁡θ=32>0⇒θ=π3\sin\theta=\tfrac{\sqrt3}{2}>0\Rightarrow\theta=\tfrac\pi3, donc z=2eiπ/3z=2e^{i\pi/3}. Puissance (Moivre) : z6=26ei⋅6π/3=64 e2iπ=64z^{6}=2^{6}e^{i\cdot 6\pi/3}=64\,e^{2i\pi}=\boxed{64} — un réel. Voilà pourquoi on passe en exponentielle pour les puissances. ∎

Moivre

Exercice 3

Calculer (1+i)8(1+i)^{8}.

Voir la correction

1+i=2 eiπ/41+i=\sqrt2\,e^{i\pi/4} (module 2\sqrt2, argument π4\tfrac\pi4), donc (1+i)8=(2)8ei⋅8π/4=16 e2iπ=16(1+i)^{8}=(\sqrt2)^{8}e^{i\cdot 8\pi/4}=16\,e^{2i\pi}=\boxed{16}. ∎

Équation du second degré

Exercice 4

Résoudre dans C\mathbb{C} : z2−2z+5=0z^{2}-2z+5=0.

Voir la correction

Coefficients réels, \Delta=(-2)^{2}-4\cdot5=4-20=-16<0, ∣Δ∣=4\sqrt{|\Delta|}=4. Deux racines conjuguées : z1=2+4i2=1+2i,z2=z1‾=1−2i.z_1=\dfrac{2+4i}{2}=1+2i,\qquad z_2=\overline{z_1}=1-2i. Vérif (somme/produit) : z1+z2=2=−baz_1+z_2=2=-\tfrac ba ✓ et z1z2=1+4=5=caz_1z_2=1+4=5=\tfrac ca ✓. ∎

Transformation

Exercice 5

Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de z′=i z+1−iz'=i\,z+1-i.

Voir la correction

Ici λ=i\lambda=i : ∣i∣=1|i|=1 et i≠1i\neq1, c'est une rotation d'angle arg⁡(i)=π2\arg(i)=\tfrac\pi2. Centre = point fixe : ω=iω+1−i⇒ω(1−i)=1−i⇒ω=1\omega=i\omega+1-i\Rightarrow\omega(1-i)=1-i\Rightarrow\omega=1. C'est la rotation de centre Ω(1)\Omega(1) et d'angle π2\tfrac\pi2. Vérif : z′−1=iz+1−i−1=i(z−1)z'-1=iz+1-i-1=i(z-1) — bien la forme z′−ω=eiθ(z−ω)z'-\omega=e^{i\theta}(z-\omega). ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Une égalité complexe = deux équations réelles (identifier Re⁡\operatorname{Re} et Im⁡\operatorname{Im}).
Astuce Pour un quotient, multiplier par le conjugué du dénominateur (qui devient ∣z′∣2|z'|^2, réel).
Astuce Puissances ⇒ forme exponentielle (Moivre) ; linéarisation ⇒ Euler.
Astuce ∣z−zA∣|z-z_A| est une distance : pensez cercle, médiatrice ; et zC−zAzB−zA\tfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A} encode toute la configuration.
Piège Im⁡(3+2i)=2\operatorname{Im}(3+2i)=2, pas 2i2i.
Piège Pour un argument, le cosinus seul est ambigu : résoudre cos⁡\cos ET sin⁡\sin, sans oublier « modulo 2π2\pi ».
Piège ∣z∣=a2+b2|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}} : ne pas oublier la racine (ce n'est pas a2+b2a^2+b^2).
Piège Le centre d'une rotation/homothétie est le point fixe : résoudre ω=λω+β\omega=\lambda\omega+\beta, pas une lecture directe.

Formulaire à retenir

Conjugué & module zˉ=a−ib,∣z∣=a2+b2,zzˉ=∣z∣2\bar z=a-ib,\quad |z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}},\quad z\bar z=|z|^{2}
Formes z=r(cos⁡θ+isin⁡θ)=r eiθz=r(\cos\theta+i\sin\theta)=r\,e^{i\theta}
Module / argument ∣zz′∣=∣z∣∣z′∣,arg⁡(zz′)=arg⁡z+arg⁡z′|zz'|=|z||z'|,\quad \arg(zz')=\arg z+\arg z'
Moivre (eiθ)n=einθ\big(e^{i\theta}\big)^{n}=e^{in\theta}
Second degré (\Delta<0) z=−b±i−Δ2az=\dfrac{-b\pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}
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