2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 8

Les fonctions exponentielles

Réciproque du logarithme, la fonction exponentielle décrit la plupart des phénomènes de croissance et de décroissance rencontrés en sciences. Ce cours en présente la définition, les propriétés (l'exponentielle d'une somme, d'une différence, d'une puissance), la dérivée — égale à elle-même — et les limites, dont la croissance comparée avec les puissances de x. Vous verrez pourquoi eˣ est strictement positive pour tout réel, ce qui simplifie considérablement l'étude du signe. En PC/SVT, la fonction exponentielle est au cœur des études de fonctions et des équations différentielles issues de la physique et de la chimie : ce chapitre en est un passage obligé.

1 · Résumé du cours

La fonction $\ln$ est une bijection de $]0,+\infty[$ sur $\mathbb{R}$ . Toute bijection admet une réciproque : c'est la fonction exponentielle. Elle possède une propriété unique — elle est égale à sa propre dérivée, et c'est la seule fonction telle que $f'=f$ et $f(0)=1$ .

1.1 Définition & équivalences fondamentales

Fonction exponentielle

\exp:\mathbb{R}\to\,]0,+\infty[

est la réciproque de

\ln

. Pour tout

x\in\mathbb{R}

et tout

y>0

\boxed{y=\exp(x)\iff x=\ln(y),}\qquad \ln\!\big(\exp(x)\big)=x,\qquad \exp\!\big(\ln(y)\big)=y.

Comme

\ln(e)=1

, on a

\exp(1)=e

, d'où la notation

\exp(x)=e^{x}

, avec

e^{0}=1

e\approx2{,}718

Deux conséquences immédiates

e^{x}

est définie sur

\mathbb{R}

tout entier (contrairement à

\ln

), et

e^{x}>0

toujours — l'exponentielle ne s'annule jamais et n'est jamais négative. Ces faits découlent de la définition (l'ensemble d'arrivée de

\ln

devient l'ensemble de départ de

\exp

), pas d'un calcul.

1.2 Propriétés algébriques

La propriété fondamentale Pour tous réels

a,b

n\in\mathbb{Z}

\boxed{e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}},\qquad e^{-a}=\frac1{e^{a}},\qquad e^{a-b}=\frac{e^{a}}{e^{b}},\qquad \big(e^{a}\big)^{n}=e^{na},\qquad e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}.

Exactement l'inverse de

\ln

\ln

transforme les produits en sommes ;

\exp

transforme les sommes en produits. Logique : ce sont deux réciproques. Et l'erreur est symétrique :

e^{a+b}\neq e^{a}+e^{b}

1.3 Dérivée, variations & courbe

La dérivée remarquable

\exp

est dérivable sur

\mathbb{R}

\boxed{(e^{x})'=e^{x}}

. Comme

e^{x}>0

\exp

est strictement croissante, et

\exp''(x)=e^{x}>0

donne

\exp

convexe. La tangente en

O

est

y=x+1

, d'où l'inégalité utile

\boxed{e^{x}\ge x+1}\ (\forall x)

\exp

est croissante et convexe sur

\mathbb{R}

, passe par

(0;1)

(1;e)

, et

\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+}

(l'axe des abscisses est asymptote).

\exp

\ln

sont réciproques : leurs courbes sont symétriques par rapport à

y=x

Tout se déduit de

\ln

par symétrie Chaque propriété de

\ln

se traduit par symétrie par rapport à

y=x

: asymptote verticale

x=0

\ln

→ asymptote horizontale

y=0

\exp

;

\ln

concave →

\exp

convexe ; branche parabolique de direction

(Ox)

→ direction

(Oy)

. Rien à réapprendre : on échange

x

y

1.4 Limites & croissances comparées

À connaître

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0^{+},\qquad \lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty,\qquad \lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\ \ (\text{c'est }\exp'(0)),

\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0.

Croissances comparées : le sens s'inverse Face à

\ln

, la puissance l'emportait. Ici c'est l'exponentielle qui l'emporte sur toute puissance de

x

, et de très loin. Mnémotechnique — l'ordre de force :

\ln x\ \ll\ x^{n}\ \ll\ e^{x}.

1.5 Exponentielle d'une fonction

Dérivée & primitive composées Si

u

est dérivable sur

I

\boxed{(e^{u})'=u'\,e^{u}}

. Comme

e^{u}>0

, le signe de $(e^u)'$ est celui de $u'$ :

e^{u}

suit les variations de

u

. En lisant à l'envers, une primitive de

u'e^{u}

est

e^{u}

(e^{x^{2}})'=2x\,e^{x^{2}},\qquad (e^{-3x})'=-3\,e^{-3x},\qquad (e^{\sqrt x})'=\frac{e^{\sqrt x}}{2\sqrt x}.

1.6 Équations & inéquations

Résolution Pour tous réels

a,b

e^{a}=e^{b}\iff a=b

e^{a}&lt;e^{b}\iff a&lt;b

. Et

e^{x}=k\iff\begin{cases}x=\ln k & \text{si }k>0,\\ \text{aucune solution} & \text{si }k\le0.\end{cases}

Méthode — le trinôme déguisé

ae^{2x}+be^{x}+c=0

① Remarquer

e^{2x}=(e^{x})^{2}

; ② poser

X=e^{x}

avec la contrainte

\boxed{X>0}

; ③ résoudre

aX^{2}+bX+c=0

; ④ écarter les racines $\le0$ ; ⑤ revenir à

x

par

x=\ln X

. Même principe pour un système : poser

X=e^{x}>0,\ Y=e^{y}>0

(avec

e^{x+y}=XY

) le rend algébrique.

La bonne nouvelle — et le piège symétrique Aucune condition d'existence à poser (

e^{x}

est définie partout). En revanche, avant d'appliquer

\ln

, il faut vérifier la positivité du second membre — c'est le piège symétrique de celui de

\ln

1.7 Exponentielle de base $a$

Définition Pour

a>0

, l'exponentielle de base $a$ est

\boxed{a^{x}=e^{x\ln a}}\ (x\in\mathbb{R})

. Cette écriture donne un sens à

2^{\sqrt3}

3^{\pi}

— à

a^{x}

pour tout réel

x

, pas seulement entier. On a

a^{x+y}=a^{x}a^{y}

(a^{x})^{y}=a^{xy}

(ab)^{x}=a^{x}b^{x}

\ln(a^{x})=x\ln a

Étude : c'est

\ln a

qui décide

(a^{x})'=\ln a\cdot a^{x}

, donc le signe de la dérivée est celui de

\ln a

: si

a>1

, croissante ; si

0&lt;a&lt;1

, décroissante (limites échangées) ; si

a=1

, constante. Toutes les courbes passent par

(0;1)

, asymptote

y=0

. Limite fondamentale :

\boxed{\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a}\quad(\text{la dérivée de }a^{x}\text{ en }0\text{ ; cas }a=e\Rightarrow1).

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

Définition & règles

Réciproque de $\ln$ , $e^{a+b}=e^ae^b$ , $e^x>0$ .

Dérivée & courbe

$(e^x)'=e^x$ , croissante, convexe, $e^x\ge x+1$ .

Limites

Croissances comparées $\ln x\ll x^n\ll e^x$ .

Fonction composée

$(e^u)'=u'e^u$ ; primitive de $u'e^u$ .

Équations & systèmes

Poser $X=e^x>0$ , écarter les racines $\le0$ .

Base $a$

$a^x=e^{x\ln a}$ ; sens selon le signe de $\ln a$ .

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Trinôme déguisé

Exercice 1

Résoudre dans $\mathbb{R}$ : $e^{2x}-3e^{x}+2=0$ .

Voir la correction

Comme $e^{2x}=(e^{x})^{2}$ , on pose $X=e^{x}$ avec $X>0$ : $X^{2}-3X+2=(X-1)(X-2)=0\Rightarrow X=1$ ou $X=2$ , toutes deux positives. Retour à $x$ : $e^{x}=1\Rightarrow x=0$ ; $e^{x}=2\Rightarrow x=\ln2$ . Vérif $x=0$ : $1-3+2=0$ ✓. Donc $\boxed{S=\{0\,;\,\ln2\}}$ . ∎

Limites & variations

Exercice 2

Soit $f(x)=x\,e^{-x}$ sur $\mathbb{R}$ . Calculer les limites en $\pm\infty$ et étudier les variations.

Voir la correction

En $-\infty$ : $x\to-\infty$ et $e^{-x}\to+\infty$ , donc $f(x)\to-\infty$ .

En $+\infty$ (forme $\infty\times0$ ) : $x\,e^{-x}=\dfrac{x}{e^{x}}=\dfrac{1}{e^{x}/x}\to0^{+}$ car $\dfrac{e^{x}}{x}\to+\infty$ . Asymptote $y=0$ .

Variations : $f'(x)=e^{-x}+x(-e^{-x})=e^{-x}(1-x)$ . Comme $e^{-x}>0$ , signe de $(1-x)$ : $f$ croît sur $]-\infty,1]$ , décroît sur $[1,+\infty[$ , maximum $f(1)=\tfrac1e\approx0{,}37$ . ∎

Inéquation, base

a&lt;1

Exercice 3

Résoudre $\left(\dfrac12\right)^{x}>8$ .

Voir la correction

Base $a=\tfrac12\in\,]0,1[$ : fonction décroissante. On écrit $8=2^{3}=\left(\tfrac12\right)^{-3}$ , d'où $\left(\tfrac12\right)^{x}>\left(\tfrac12\right)^{-3}$ ; la décroissance inverse le sens : $x<-3$ .

Par $\ln$ : $x\ln\tfrac12>\ln8$ ; or $\ln\tfrac12=-\ln2<0$ , diviser inverse le sens : $x<\dfrac{3\ln2}{-\ln2}=-3$ . Donc $\boxed{S=\,]-\infty;-3[}$ . ∎

Primitive composée

Exercice 4

Déterminer une primitive de $f(x)=x\,e^{x^{2}}$ .

Voir la correction

Forme $u'e^{u}$ avec $u=x^{2}$ , $u'=2x$ ; il manque le facteur $2$ : $f(x)=\tfrac12\cdot 2x\,e^{x^{2}}\Rightarrow F(x)=\tfrac12 e^{x^{2}}$ . Vérif : $F'(x)=\tfrac12\cdot 2x\,e^{x^{2}}=x e^{x^2}$ . ✓

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Pour une équation en

e^{x}

, pose

X=e^{x}>0

: tu obtiens souvent un polynôme (ne pas oublier d'écarter les racines

\le0

Astuce En

+\infty

, $e^{x}$ écrase tout (

\ln x\ll x^n\ll e^x

) ; en

-\infty

, il « éteint » les puissances (

x^n e^x\to0

Astuce Dans

e^{u}

, le signe de la dérivée est celui de

u'

e^{u}

a exactement les variations de

u

Piège

e^{a+b}=e^{a}e^{b}

mais

e^{a}+e^{b}

ne se simplifie pas.

Piège

e^{x}>0

toujours : une valeur

X=e^{x}\le0

est à rejeter. Et avant d'appliquer

\ln

, vérifier que le second membre est

>0

Piège En base

0&lt;a&lt;1

, les inéquations changent de sens (car

\ln a&lt;0

Formulaire à retenir

Règles

e^{a+b}=e^{a}e^{b},\quad e^{-a}=\dfrac{1}{e^{a}},\quad (e^{a})^{n}=e^{na}

Liens avec

\ln

\ln(e^{x})=x,\quad e^{\ln x}=x\ (x&gt;0)

Dérivée

(e^{x})'=e^{x},\quad (e^{u})'=u'e^{u}

Primitive

u'e^{u}\to e^{u}

Limites

\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty,\ \lim_{x\to-\infty}xe^{x}=0,\ \lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 18 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les fonctions exponentielles

1 · Résumé du cours

1.1 Définition & équivalences fondamentales

1.2 Propriétés algébriques

1.3 Dérivée, variations & courbe

1.4 Limites & croissances comparées

1.5 Exponentielle d'une fonction

1.6 Équations & inéquations

1.7 Exponentielle de base aaa

2 · Feuille de route

Définition & règles

Dérivée & courbe

Limites

Fonction composée

Équations & systèmes

Base aaa

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.7 Exponentielle de base $a$

Base $a$