La fonction exponentielle est la réciproque du logarithme et modélise la plupart des phénomènes de croissance et de décroissance. Cette fiche rassemble ses propriétés (e^(a+b), e^(a−b), (eˣ)ⁿ), sa dérivée eˣ et ses limites, dont la croissance comparée x eˣ → 0 en −∞. En Sciences Expérimentales, elle intervient dans les études de fonctions et les équations différentielles issues de la physique. Retenez qu'elle est strictement positive : eˣ > 0 pour tout x, ce qui simplifie beaucoup l'étude du signe.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Fonction exponentielle

Math Excellence

1 · Définition & variations

Définition

• Réciproque de $\ln$, définie sur $\mathbb{R}$
• $e^{x}>0$ pour tout $x$

$e^{0}=1,\quad e^{1}=e$

Sens de variation

• $(e^{x})'=e^{x}>0$
• Strictement croissante
• Convexe : $(e^{x})''=e^{x}>0$

Lien avec $\ln$

• $e^{\ln x}=x\ (x>0)$
• $\ln(e^{x})=x$

Astuce : $e^{x}$ n'est jamais nul.

$C_{\exp}$ : asymptote horizontale $y=0$ en $-\infty$, passe par $(0,1)$ et $(1,e)$.

2 · Propriétés algébriques

$e^{a+b}=e^{a}\,e^{b}$

$e^{a-b}=\dfrac{e^{a}}{e^{b}}$

$e^{-a}=\dfrac1{e^{a}}$

$(e^{a})^{n}=e^{na}$

$e^{a/2}=\sqrt{e^{a}}$

$e^{0}=1,\ e^{1}=e$

$e^{a}=e^{b}\Leftrightarrow a=b$

$e^{a}>0\ \text{toujours}$

3 · Limites

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}e^{x}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x}=+\infty$

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x\,e^{x}=0$

$\displaystyle\lim_{x\to0}\dfrac{e^{x}-1}{x}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty$

4 · Dérivées & primitives

Dérivées

• $(e^{x})'=e^{x}$
• $(e^{u})'=u'\,e^{u}$

Ex : $(e^{x^{2}})'=2x\,e^{x^{2}}$

Primitives & tangente

• $u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}$
• Tangente en $0$ : $y=x+1$
• $e^{x}\ge x+1$ (convexité)

Tangente en $O$ : $y=x+1$ ; la courbe est au-dessus ($e^{x}\ge x+1$).

5 · Équations & inéquations

Résolution

• $e^{a}=e^{b}\Leftrightarrow a=b$
• e^{a}<e^{b}\Leftrightarrow a<b

Astuce : $e^{x}$ est strictement croissante.

Équation $e^{x}=k$

• Si $k>0$ : $x=\ln k$
• Si $k\le 0$ : aucune solution

★ Astuces géniales

• $e^{x}$ est toujours strictement positif (jamais nul).
• Transformer produits & puissances en sommes d'exposants.
• Croissance comparée : $e^{x}$ l'emporte sur toute puissance de $x$.
• $e^{x}$ et $\ln$ sont réciproques : $e^{\ln x}=x$, $\ln(e^{x})=x$.

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