Le calcul intégral couronne le programme d'analyse : il permet de calculer des aires, des valeurs moyennes et des volumes. Cette fiche réunit la relation F(b) − F(a), la relation de Chasles, la linéarité, la positivité et l'intégration par parties. Au Bac PC/SVT, l'intégrale conclut souvent le problème d'analyse par un calcul d'aire. Le réflexe indispensable : trouver une primitive AVANT de remplacer les bornes, et surveiller le signe de la fonction quand on interprète l'intégrale comme une aire.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Calcul intégral

Math Excellence

1 · Définition & lien avec la primitive

Définition

• Si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)$

Existence

• Toute fonction continue sur $I$ y admet des primitives
• Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie

Astuce : le $+k$ s'élimine dans $F(b)-F(a)$.

Méthode

• Chercher une primitive $F$ de $f$
• Évaluer aux deux bornes

Si $f\ge0$ : $\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$ est l'aire sous $C_f$ entre $a$ et $b$.

2 · Propriétés

$\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\!\int_a^b\! f+\beta\!\int_a^b\! g$

$\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f$

$\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f$

$\displaystyle\int_a^a f=0$

$a\le b,\ f\ge0\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\ge0$

$f\le g\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g$

3 · Interprétation géométrique

Aire entre deux courbes

• Si $f\ge g$ sur $[a,b]$

$\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx$

Si $f$ change de signe

• L'intégrale n'est plus une aire
• Découper selon le signe, ou intégrer $|f|$

Attention : f<0\Rightarrow intégrale négative.

Valeur moyenne

$\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$

• Hauteur du rectangle de même aire

Aire entre $C_f$ et $C_g$ : on intègre la différence $f-g$ ($f$ au-dessus).

4 · Méthodes de calcul

Reconnaître une forme composée

• $u'\,u^{n}\ \Rightarrow\ \dfrac{u^{n+1}}{n+1}$
• $\dfrac{u'}{u}\ \Rightarrow\ \ln|u|$
• $u'\,e^{u}\ \Rightarrow\ e^{u}$
• $\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\ \Rightarrow\ 2\sqrt{u}$

Astuce : identifie $u$, puis vérifie que $u'$ est là.

Intégration par parties

$\displaystyle\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'$

• $v$ : la partie qui se simplifie en dérivant ($x$, $\ln x$)
• $u'$ : la partie facile à primitiver ($e^{x}$, $\cos x$)

5 · Exemples résolus

1$\displaystyle\int_0^1 x^{2}\,dx=\Big[\tfrac{x^{3}}{3}\Big]_0^1=\dfrac13$

2$\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^{2}+1}\,dx=\big[\ln(x^{2}+1)\big]_0^1=\ln 2$

3$\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx=1$ (IPP)

4$\displaystyle\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos x\,dx=\big[\sin x\big]_0^{\frac{\pi}{2}}=1$

5$\displaystyle\int_1^{e}\dfrac{\ln x}{x}\,dx=\Big[\tfrac{(\ln x)^{2}}{2}\Big]_1^{e}=\dfrac12$

6$\displaystyle\int_0^1 e^{2x}\,dx=\Big[\tfrac{e^{2x}}{2}\Big]_0^1=\dfrac{e^{2}-1}{2}$

★ Astuces géniales

• Tout revient à trouver une primitive : entraîne-toi à reconnaître $\frac{u'}{u}$, $u'e^{u}$, $u'u^{n}$.
• Intégrale ≠ aire si $f$ change de signe sur $[a,b]$.
• Ne jamais oublier d'évaluer aux deux bornes : $F(b)-F(a)$.
• Pour un produit : IPP, en dérivant la partie qui se simplifie.

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