QCM — Calcul intégral

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \([a,b]\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) vaut :

   • A\(F(a)-F(b)\)
   • ✓\(F(b)-F(a)\)
   • C\(F(b)+F(a)\)
   • D\(f(b)-f(a)\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_a^b=F(b)-F(a)\).

2. Question 2

   \(\displaystyle\int_a^a f(x)\,dx\) vaut :

   • A\(1\)
   • B\(f(a)\)
   • ✓\(0\)
   • D\(a\)

   Remarque

   Les bornes étant égales, l'intégrale est nulle : \(\int_a^a f=0\).

3. Question 3

   \(\displaystyle\int_b^a f(x)\,dx\) est égale à :

   • A\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
   • ✓\(-\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
   • C\(0\)
   • D\(\left|\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\right|\)

   Remarque

   Échanger les bornes change le signe : \(\int_b^a f=-\int_a^b f\).

4. Question 4

   Relation de Chasles : \(\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f\) vaut :

   • ✓\(\displaystyle\int_a^c f\)
   • B\(\displaystyle\int_c^a f\)
   • C\(\displaystyle\int_a^b f\cdot\int_b^c f\)
   • D\(0\)

   Remarque

   La relation de Chasles donne \(\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f\).

5. Question 5

   Par linéarité, \(\displaystyle\int_a^b\big(3f(x)+2g(x)\big)\,dx\) vaut :

   • A\(3\displaystyle\int f\cdot 2\int g\)
   • B\(\displaystyle\int_a^b f+\int_a^b g\)
   • C\(5\displaystyle\int_a^b (f+g)\)
   • ✓\(3\displaystyle\int_a^b f+2\int_a^b g\)

   Remarque

   L'intégrale est linéaire : \(\int(\alpha f+\beta g)=\alpha\int f+\beta\int g\).

6. Question 6

   Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a,b]\) avec \(a<b\), alors \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\) :

   • Aest \(\le 0\)
   • ✓est \(\ge 0\)
   • Cvaut \(0\)
   • Dpeut être quelconque

   Remarque

   Positivité de l'intégrale : \(f\ge0\) sur \([a,b]\) (avec \(a<b\)) entraîne \(\int_a^b f\ge 0\).

7. Question 7

   \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx\) vaut :

   • A\(1\)
   • B\(\dfrac{1}{2}\)
   • ✓\(\dfrac{1}{3}\)
   • D\(\dfrac{2}{3}\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int_0^1 x^2\,dx=\Big[\tfrac{x^3}{3}\Big]_0^1=\tfrac{1}{3}\).

8. Question 8

   \(\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx\) vaut :

   • A\(0\)
   • B\(e-1\)
   • ✓\(1\)
   • D\(e\)

   Remarque

   \(\displaystyle\int_1^e\frac{1}{x}\,dx=\big[\ln x\big]_1^e=\ln e-\ln 1=1\).

9. Question 9

   La valeur moyenne de \(f\) sur \([a,b]\) (avec \(a<b\)) est :

   • A\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
   • B\((b-a)\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
   • ✓\(\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
   • D\(f\!\left(\dfrac{a+b}{2}\right)\)

   Remarque

   La valeur moyenne est \(\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\).

10. Question 10

    La formule d'intégration par parties donne \(\displaystyle\int_a^b u'v\,dx=\)

    • ✓\(\big[uv\big]_a^b-\displaystyle\int_a^b uv'\,dx\)
    • B\(\big[uv\big]_a^b+\displaystyle\int_a^b uv'\,dx\)
    • C\(\displaystyle\int_a^b u\cdot\int_a^b v'\)
    • D\(\big[u'v\big]_a^b-\displaystyle\int_a^b uv'\,dx\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_a^b u'v=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b uv'\) : on dérive \(v\) et on intègre \(u'\).

11. Question 11

    Si \(f(x)\le g(x)\) sur \([a,b]\) (avec \(a<b\)), alors :

    • A\(\displaystyle\int_a^b f\ge\int_a^b g\)
    • ✓\(\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g\)
    • C\(\displaystyle\int_a^b f=\int_a^b g\)
    • Don ne peut pas comparer

    Remarque

    Croissance de l'intégrale : \(f\le g\) sur \([a,b]\) (\(a<b\)) entraîne \(\int_a^b f\le\int_a^b g\).

12. Question 12

    \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx\) vaut :

    • A\(0\)
    • B\(1\)
    • ✓\(2\)
    • D\(\pi\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_0^{\pi}\sin x\,dx=\big[-\cos x\big]_0^{\pi}=-(-1)-(-1)=2\).

13. Question 13

    \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx\) vaut :

    • A\(1\)
    • B\(e\)
    • ✓\(e-1\)
    • D\(e+1\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_0^1 e^{x}\,dx=\big[e^{x}\big]_0^1=e-1\).

14. Question 14

    \(\displaystyle\int_1^2 \frac{1}{x^2}\,dx\) vaut :

    • ✓\(\dfrac{1}{2}\)
    • B\(1\)
    • C\(-\dfrac{1}{2}\)
    • D\(\ln 2\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_1^2 x^{-2}\,dx=\Big[-\tfrac{1}{x}\Big]_1^2=-\tfrac12-(-1)=\tfrac12\).

15. Question 15

    \(\displaystyle\int_0^1 (2x+1)\,dx\) vaut :

    • A\(1\)
    • ✓\(2\)
    • C\(3\)
    • D\(\dfrac{3}{2}\)

    Remarque

    \(\displaystyle\int_0^1(2x+1)\,dx=\big[x^2+x\big]_0^1=(1+1)-0=2\).

16. Question 16

    Pour \(f\) impaire, \(\displaystyle\int_{-a}^{a} f(x)\,dx\) vaut :

    • A\(2\displaystyle\int_0^a f\)
    • ✓\(0\)
    • C\(\displaystyle\int_0^a f\)
    • D\(a\)

    Remarque

    Par symétrie, l'intégrale d'une fonction impaire sur un intervalle centré en \(0\) est nulle : \(\int_{-a}^a f=0\).

17. Question 17

    Pour \(f\ge 0\) et continue sur \([a,b]\), l'aire du domaine sous \(\mathcal{C}_f\) (en unités d'aire) est :

    • A\(f(b)-f(a)\)
    • ✓\(\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx\)
    • C\((b-a)\,f(a)\)
    • D\(\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f\)

    Remarque

    Si \(f\ge0\), l'aire entre \(\mathcal{C}_f\), l'axe \((Ox)\) et les droites \(x=a\), \(x=b\) vaut \(\int_a^b f(x)\,dx\).

18. Question 18

    L'aire entre deux courbes \(\mathcal{C}_f\) et \(\mathcal{C}_g\) avec \(f\ge g\) sur \([a,b]\) est :

    • A\(\displaystyle\int_a^b (f+g)\)
    • ✓\(\displaystyle\int_a^b (f-g)\)
    • C\(\displaystyle\int_a^b f\cdot\int_a^b g\)
    • D\(\displaystyle\int_a^b |f|\)

    Remarque

    L'aire entre les deux courbes vaut \(\displaystyle\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx\) lorsque \(f\ge g\).

19. Question 19

    \(\displaystyle\int_0^1 x\,e^{x}\,dx\) (par parties) vaut :

    • A\(0\)
    • ✓\(1\)
    • C\(e\)
    • D\(e-1\)

    Remarque

    Avec \(u'=e^{x},\ v=x\) : \(\int_0^1 x e^{x}=\big[x e^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}=e-(e-1)=1\).

20. Question 20

    Si \(m\le f(x)\le M\) sur \([a,b]\) (avec \(a<b\)), alors \(\displaystyle\int_a^b f\) vérifie :

    • A\(m\le\displaystyle\int_a^b f\le M\)
    • ✓\(m(b-a)\le\displaystyle\int_a^b f\le M(b-a)\)
    • C\(\displaystyle\int_a^b f=\dfrac{m+M}{2}\)
    • D\(\displaystyle\int_a^b f\ge M(b-a)\)

    Remarque

    Inégalité de la moyenne : en intégrant \(m\le f\le M\) sur \([a,b]\), on obtient \(m(b-a)\le\int_a^b f\le M(b-a)\).