Aller au contenu principal
MathExcellence
← Tous les cours
9

2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 9

Calcul intégral

Le calcul intégral est l'aboutissement du programme d'analyse : il permet de mesurer des aires, des valeurs moyennes et des volumes. Ce cours établit le lien entre intégrale et primitive à travers la relation F(b) − F(a), puis présente les propriétés fondamentales — relation de Chasles, linéarité, positivité — et la technique de l'intégration par parties. En PC/SVT, l'intégrale conclut fréquemment le problème d'analyse par un calcul d'aire sous une courbe. Le cours insiste sur la démarche : trouver d'abord une primitive, remplacer ensuite les bornes, et rester attentif au signe de la fonction lorsqu'on interprète le résultat géométriquement.

1 · Résumé du cours

Le calcul intégral fait le chemin inverse de la dérivation : à partir de ff, on cherche une fonction FF telle que F′=fF'=f (une primitive), puis on en tire un nombre — l'intégrale ∫abf\int_a^b f — qui, lorsque f≥0f\ge0, mesure une aire. Tout le chapitre repose sur une seule égalité : ∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f = F(b)-F(a).

1.1 Des primitives à l'intégrale

Définition ff étant continue sur [a;b][a;b] et FF une primitive de ff (c.-à-d. F′=fF'=f) : ∫abf(x) dx=[F(x)]ab=F(b)−F(a).\boxed{\int_{a}^{b} f(x)\,dx=\big[F(x)\big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).}
Deux réflexes qui ne trompent jamais ① Le choix de la primitive n'a aucune importance : la constante s'élimine dans F(b)−F(a)F(b)-F(a). On n'écrit donc jamais « +k+k » dans une intégrale. ② La variable est muette : ∫abf(x) dx=∫abf(t) dt\int_a^b f(x)\,dx=\int_a^b f(t)\,dt — c'est le même nombre.

1.2 Interprétation géométrique : l'aire

Aire sous une courbe Si ff est continue et positive sur [a;b][a;b] (a≤ba\le b), alors ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx est l'aire (en unités d'aire) du domaine compris entre (Cf)(C_f), l'axe des abscisses et les droites x=ax=a, x=bx=b.
Intégrale ≠\neq aire en général Si ff est négative, l'intégrale est négative ; si ff change de signe, les contributions positives et négatives se compensent. Ainsi ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1}x\,dx=0 alors que l'aire correspondante vaut 11. Pour une aire, on découpe selon le signe (ou on intègre ∣f∣|f|).
a b aire (C : f)
L'aire du domaine hachuré, sous (Cf)(C_f) entre x=ax=a et x=bx=b, vaut ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx (lorsque f≥0f\ge0).

1.3 Propriétés de l'intégrale

Les incontournables
  • Linéarité : ∫ab(αf+βg)=α∫abf+β∫abg\displaystyle\int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.
  • Relation de Chasles : ∫abf+∫bcf=∫acf\boxed{\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f}.
  • Bornes : ∫aaf=0\displaystyle\int_a^a f=0 et ∫abf=−∫baf\displaystyle\int_a^b f=-\int_b^a f.
  • Parité sur [−a;a][-a;a] : ff impaire ⇒∫−aaf=0\Rightarrow\displaystyle\int_{-a}^{a}f=0 ; ff paire ⇒∫−aaf=2∫0af\Rightarrow\displaystyle\int_{-a}^{a}f=2\int_0^a f.
À quoi sert Chasles C'est l'outil des fonctions définies par morceaux et des aires quand ff change de signe : on découpe l'intervalle aux points où ff s'annule, puis on additionne.

1.4 Intégrale & ordre — encadrement

Positivité, comparaison, encadrement (si a≤ba\le b)
  • Positivité : f≥0⇒∫abf≥0f\ge0\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\ge0.
  • Comparaison : f≤g⇒∫abf≤∫abgf\le g\Rightarrow\displaystyle\int_a^b f\le\int_a^b g.
  • Encadrement : m≤f≤M⇒m(b−a)≤∫abf≤M(b−a)m\le f\le M\Rightarrow m(b-a)\le\displaystyle\int_a^b f\le M(b-a).
L'ordre des bornes est indispensable Ces propriétés supposent a≤ba\le b. Si b<a, l'intégrale change de signe et les inégalités s'inversent. Vérifiez toujours l'ordre des bornes avant d'appliquer positivité ou encadrement.

1.5 Valeur moyenne

Valeur moyenne La valeur moyenne de ff sur [a;b][a;b] (a<b) est μ=1b−a∫abf(x) dx.\boxed{\mu=\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.} Géométriquement, μ\mu est la hauteur du rectangle de base [a;b][a;b] ayant la même aire que le domaine sous (Cf)(C_f).
Inégalité de la moyenne Si m≤f≤Mm\le f\le M sur [a;b][a;b], alors m≤μ≤Mm\le\mu\le M. En particulier ∣∫abf∣≤(b−a)max⁡∣f∣\Big|\displaystyle\int_a^b f\Big|\le (b-a)\max|f| — un moyen commode de majorer une intégrale qu'on ne sait pas calculer.

1.6 Reconnaître une forme composée

Le tableau des dérivées composées, lu à l'envers forme de fune primitive Fu′ un (n≠−1)un+1n+1u′u (u≠0)ln⁡∣u∣u′u (u>0)2uu′u2 (u≠0)−1uu′ eueuu′cos⁡u ; u′sin⁡usin⁡u ; −cos⁡u\begin{array}{c|c} \text{forme de } f & \text{une primitive } F\\\hline u'\,u^{n}\ (n\neq-1) & \dfrac{u^{n+1}}{n+1}\\ \dfrac{u'}{u}\ (u\neq0) & \ln|u|\\ \dfrac{u'}{\sqrt u}\ (u>0) & 2\sqrt u\\ \dfrac{u'}{u^{2}}\ (u\neq0) & -\dfrac1u\\ u'\,e^{u} & e^{u}\\ u'\cos u\,;\ u'\sin u & \sin u\,;\ -\cos u \end{array}
Ajuster le coefficient Repérez uu (l'« intérieur »), calculez u′u' : s'il manque une constante, compensez-la par son inverse. Ex. e2x=12 (2e2x)e^{2x}=\tfrac12\,(2e^{2x}) donc une primitive est 12e2x\tfrac12 e^{2x} (vérif. : sa dérivée vaut e2xe^{2x} ✓).

1.7 Intégration par parties

IPP Pour u,vu,v de classe C1C^{1} sur [a;b][a;b] : ∫abu(x) v′(x) dx=[u(x)v(x)]ab−∫abu′(x) v(x) dx.\boxed{\int_{a}^{b} u(x)\,v'(x)\,dx=\big[u(x)v(x)\big]_{a}^{b}-\int_{a}^{b} u'(x)\,v(x)\,dx.} Utile pour les produits qui ne sont pas des formes composées : ∫x ex\int x\,e^{x}, ∫xln⁡x\int x\ln x, ∫xcos⁡x\int x\cos x, ∫ln⁡x\int \ln x…
Bien choisir uu et v′v' Prenez pour uu ce qui se simplifie en dérivant (xx, x2x^2, ln⁡x\ln x) et pour v′v' ce que vous savez primitiver (exe^{x}, cos⁡x\cos x, sin⁡x\sin x). Le but : que la nouvelle intégrale soit plus simple que la première. Cas particulier : ∫ln⁡x=[xln⁡x]−∫1=xln⁡x−x\int\ln x=[x\ln x]-\int 1=x\ln x-x (on pose u=ln⁡x, v′=1u=\ln x,\ v'=1).

1.8 Calcul d'aires

Sous une courbe / entre deux courbes Sous (Cf)(C_f) : A=∫abf\mathcal{A}=\displaystyle\int_a^b f si f≥0f\ge0, et A=−∫abf\mathcal{A}=-\displaystyle\int_a^b f si f≤0f\le0. Entre deux courbes avec f≥gf\ge g sur [a;b][a;b] : A=∫ab(f−g) dx\boxed{\mathcal{A}=\int_a^b\big(f-g\big)\,dx} toujours « courbe du haut −- courbe du bas », après avoir cherché les intersections (bornes) et étudié le signe de f−gf-g.
Unité d'aire Le résultat est en unités d'aire (u.a.). Si le repère a des unités ii cm et jj cm sur les axes, l'aire réelle vaut A×(i×j)\mathcal{A}\times(i\times j) cm².

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

1

Primitive → intégrale

∫abf=F(b)−F(a)\int_a^b f=F(b)-F(a), sans « +k+k ».

2

Aire

f≥0f\ge0 : aire sous la courbe ; attention aux changements de signe.

3

Propriétés

Linéarité, Chasles, parité, positivité.

4

Ordre & moyenne

Encadrement, valeur moyenne, inégalité de la moyenne.

5

Méthodes de calcul

Forme composée d'abord, IPP ensuite.

6

Aires entre courbes

Intersections, signe de f−gf-g, ∫(f−g)\int(f-g).

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque compétence clé, avec correction guidée.

Calcul direct

Exercice 1

Calculer ∫01(3x2−2x+1) dx\displaystyle\int_{0}^{1}\big(3x^{2}-2x+1\big)\,dx.

Voir la correction

Par linéarité, une primitive est x3−x2+xx^{3}-x^{2}+x, donc ∫01(3x2−2x+1) dx=[x3−x2+x]01=(1−1+1)−0=1.\int_0^1(3x^2-2x+1)\,dx=\big[x^{3}-x^{2}+x\big]_{0}^{1}=(1-1+1)-0=\boxed{1}. ∎

Forme composée · 3 cas

Exercice 2

Calculer a) ∫012xx2+1 dx\displaystyle\int_{0}^{1}\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx ; b) ∫01x ex2 dx\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x^{2}}\,dx ; c) ∫01e2x dx\displaystyle\int_{0}^{1} e^{2x}\,dx.

Voir la correction

a) Forme u′u\frac{u'}{u} avec u=x2+1>0u=x^{2}+1>0 : [ln⁡(x2+1)]01=ln⁡2\big[\ln(x^{2}+1)\big]_{0}^{1}=\ln2. b) Forme u′euu'e^{u} avec u=x2u=x^{2} (donc u′=2xu'=2x, on ajuste par 12\tfrac12) : [12ex2]01=e−12\big[\tfrac12 e^{x^{2}}\big]_{0}^{1}=\dfrac{e-1}{2}. c) Forme u′euu'e^{u} avec u=2xu=2x : [12e2x]01=e2−12\big[\tfrac12 e^{2x}\big]_{0}^{1}=\dfrac{e^{2}-1}{2}. ∎

Intégration par parties

Exercice 3

Calculer ∫01x ex dx\displaystyle\int_{0}^{1} x\,e^{x}\,dx.

Voir la correction

Le produit xexxe^{x} n'est pas une forme composée : IPP avec u=x (u′=1)u=x\ (u'=1) et v′=ex (v=ex)v'=e^{x}\ (v=e^{x}) : ∫01xexdx=[xex]01−∫01exdx=e−[ex]01=e−(e−1)=1.\int_0^1 xe^{x}dx=\big[xe^{x}\big]_0^1-\int_0^1 e^{x}dx=e-\big[e^{x}\big]_0^1=e-(e-1)=\boxed{1}. La nouvelle intégrale était plus simple : bon choix. ∎

IPP · logarithme

Exercice 4

Calculer ∫1eln⁡x dx\displaystyle\int_{1}^{e} \ln x\,dx.

Voir la correction

On ne connaît pas de primitive directe de ln⁡\ln : IPP avec u=ln⁡x (u′=1x)u=\ln x\ (u'=\tfrac1x) et v′=1 (v=x)v'=1\ (v=x) : ∫1eln⁡x dx=[xln⁡x]1e−∫1ex⋅1x dx=e−∫1e1 dx=e−(e−1)=1.\int_1^e\ln x\,dx=\big[x\ln x\big]_1^e-\int_1^e x\cdot\tfrac1x\,dx=e-\int_1^e 1\,dx=e-(e-1)=\boxed{1}. ∎

Valeur moyenne

Exercice 5

Déterminer la valeur moyenne de f(x)=x2f(x)=x^{2} sur [0;3][0;3].

Voir la correction

μ=13−0∫03x2 dx=13[x33]03=13⋅9=3.\mu=\dfrac1{3-0}\displaystyle\int_0^3 x^{2}\,dx=\dfrac13\Big[\dfrac{x^{3}}3\Big]_0^3=\dfrac13\cdot 9=\boxed{3}. (Cohérent : 0≤f≤90\le f\le 9 sur [0;3][0;3], donc 0≤μ≤90\le\mu\le9.) ∎

Aire entre deux courbes

Exercice 6

Aire du domaine délimité par (Cf) (f(x)=x2)(C_f)\ (f(x)=x^{2}) et (Cg) (g(x)=x)(C_g)\ (g(x)=x).

Voir la correction

Bornes : x2=x  ⟺  x(x−1)=0⇒x=0x^{2}=x\iff x(x-1)=0\Rightarrow x=0 ou x=1x=1. Qui est au-dessus ? Sur [0;1][0;1], g−f=x−x2=x(1−x)≥0g-f=x-x^{2}=x(1-x)\ge0 : la droite domine. A=∫01(x−x2) dx=[x22−x33]01=12−13=16 u.a.\mathcal{A}=\int_0^1(x-x^{2})\,dx=\Big[\tfrac{x^{2}}2-\tfrac{x^{3}}3\Big]_0^1=\tfrac12-\tfrac13=\boxed{\tfrac16}\ \text{u.a.} ∎

Aire · changement de signe

Exercice 7

Calculer l'aire du domaine compris entre (Cf)(C_f), f(x)=x2−1f(x)=x^{2}-1, et l'axe des abscisses sur [0;2][0;2].

Voir la correction

ff s'annule en x=1x=1 : f≤0f\le0 sur [0;1][0;1], f≥0f\ge0 sur [1;2][1;2]. On découpe (Chasles) et on prend la valeur absolue sur chaque morceau : A=−∫01(x2−1) dx+∫12(x2−1) dx.\mathcal{A}=-\int_0^1(x^{2}-1)\,dx+\int_1^2(x^{2}-1)\,dx. Or ∫(x2−1)=x33−x\int(x^{2}-1)=\tfrac{x^{3}}3-x. Premier morceau : −[x33−x]01=−(13−1)=23-\big[\tfrac{x^3}3-x\big]_0^1=-(\tfrac13-1)=\tfrac23. Second : [x33−x]12=(83−2)−(13−1)=23+23=43\big[\tfrac{x^3}3-x\big]_1^2=(\tfrac83-2)-(\tfrac13-1)=\tfrac23+\tfrac23=\tfrac43. Total : A=23+43=2 u.a.\mathcal{A}=\tfrac23+\tfrac43=\boxed{2}\ \text{u.a.} ∎

Besoin de plus d'exercices sur un point précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce Vérifiez en dérivant : si la dérivée de votre primitive redonne ff, le calcul est juste — la seule vérification nécessaire.
Astuce Cherchez d'abord une forme composée (u′unu'u^n, u′u\frac{u'}{u}, u′euu'e^{u}, u′u\frac{u'}{\sqrt u}) avant de vous lancer dans une IPP.
Astuce Pour une aire entre deux courbes, intégrez (courbe du haut−courbe du bas)(\text{courbe du haut}-\text{courbe du bas}) après avoir trouvé les intersections.
Astuce Pour majorer une intégrale difficile, utilisez l'inégalité de la moyenne : ∣∫abf∣≤(b−a)max⁡∣f∣\big|\int_a^b f\big|\le(b-a)\max|f|.
Piège ∫abf\displaystyle\int_a^b f peut être négative : ce n'est une aire que si f≥0f\ge0. Si ff change de signe, découpez avec Chasles.
Piège En IPP, un mauvais choix de uu et v′v' complique l'intégrale : choisissez uu qui se simplifie en dérivant.
Piège Positivité et encadrement supposent a≤ba\le b : si b<a, l'intégrale change de signe et tout s'inverse.
Piège N'écrivez jamais « +k+k » dans une intégrale définie : la constante disparaît dans F(b)−F(a)F(b)-F(a).

Formulaire à retenir

Intégrale ∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\displaystyle\int_{a}^{b} f(x)\,dx=F(b)-F(a)
Chasles ∫abf+∫bcf=∫acf\displaystyle\int_a^b f+\int_b^c f=\int_a^c f
Par parties ∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\displaystyle\int_a^b uv'=\big[uv\big]_a^b-\int_a^b u'v
Aire (f≥0)(f\ge0) ∫abf(x) dx\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx ; entre courbes ∫ab(f−g)\displaystyle\int_a^b(f-g)
Valeur moyenne μ=1b−a∫abf\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f
Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la ficheQCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 20 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

© Math Excellence · mathexce.com