2ᵉ Bac · PC / SVT · Chapitre 10

Les équations différentielles

Les équations différentielles relient directement les mathématiques à la physique et à la chimie du programme. Ce cours apprend à résoudre les équations du premier ordre y′ = ay et y′ = ay + b, puis les équations du second ordre à coefficients constants selon le signe du discriminant. Vous verrez comment la solution générale se construit — solution de l'équation homogène plus une solution particulière — avant de fixer les constantes grâce aux conditions initiales. En PC/SVT, ces équations modélisent la charge d'un condensateur, la désintégration radioactive ou une cinétique chimique : le chapitre montre à chaque fois le passage entre le modèle physique et sa résolution mathématique.

1 · Résumé du cours

Jusqu'ici, une équation cherchait un nombre. Ici, l'inconnue est une fonction $y$ , et l'équation relie cette fonction à ses dérivées. C'est le langage de la physique : décroissance radioactive, circuits RC et RLC, refroidissement — tous s'écrivent ainsi. L'outil central sera l'exponentielle, seule fonction égale (à un coefficient près) à sa dérivée.

1.1 Définition

Équation différentielle Une équation différentielle est une équation dont l'inconnue est une fonction

y

, et qui fait intervenir

y

et ses dérivées. Une solution sur un intervalle

I

est une fonction dérivable qui vérifie l'égalité pour tout

x\in I

1.2 L'équation $y'=ay$

Solution générale Soit

a\in\mathbb{R}

. Les solutions sur

\mathbb{R}

y'=ay

sont exactement les fonctions

\boxed{y(x)=C\,e^{ax},\qquad C\in\mathbb{R}.}

Pourquoi c'est exactement l'exponentielle On cherche une fonction proportionnelle à sa propre dérivée : or

\big(e^{ax}\big)'=a\,e^{ax}

, l'exponentielle est faite pour ça. Et il n'y en a pas d'autres : en posant

z(x)=y(x)e^{-ax}

, on trouve

z'=e^{-ax}(y'-ay)=0

, donc

z

est constante

=C

sur l'intervalle, d'où

y=Ce^{ax}

Unicité avec condition initiale Pour tous réels

x_0

y_0

, il existe une unique solution de

y'=ay

vérifiant

y(x_0)=y_0

. La condition initiale sélectionne une seule courbe dans la famille.

1.3 L'équation $y'=ay+b$

Solution générale Soient

a\neq0

b

réels. Les solutions sur

\mathbb{R}

y'=ay+b

sont

\boxed{y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a},\qquad C\in\mathbb{R}.}

La structure à comprendre La solution est la somme de deux morceaux :

\underbrace{C\,e^{ax}}_{\text{solution de }y'=ay}+\underbrace{\big(-\tfrac{b}{a}\big)}_{\text{solution constante}}

. La constante

-\tfrac ba

est la solution particulière (on la trouve en cherchant

y

constante :

y'=0

donne

0=ay+b

). En physique :

-\tfrac ba

est le régime permanent,

Ce^{ax}

le régime transitoire qui s'éteint si

a&lt;0

Le cas

a=0

: ne pas diviser par zéro La formule suppose

a\neq0

. Si

a=0

, l'équation devient

y'=b

y

est alors une primitive de la constante $b$ , d'où

y(x)=bx+C

. On retombe sur les primitives, surtout pas sur

-\tfrac ba

Méthode — premier ordre ① Identifier

a

b

(forme

y'=ay+b

) ; ② écrire

y=Ce^{ax}-\tfrac ba

; ③ utiliser la condition initiale pour déterminer

C

; ④ vérifier en dérivant la solution trouvée.

1.4 Second ordre : l'équation caractéristique

Équation du second ordre à coefficients constants On étudie

y''+a\,y'+b\,y=0

(

a,b\in\mathbb{R}

). On lui associe son équation caractéristique :

\boxed{r^{2}+a\,r+b=0,}\qquad \Delta=a^{2}-4b.

D'où sort cette équation On cherche des solutions de la forme

y=e^{rx}

. Alors

y''+ay'+by=e^{rx}\big(r^{2}+ar+b\big)

. Comme

e^{rx}\neq0

toujours, l'équation équivaut à

r^{2}+ar+b=0

. L'équation caractéristique n'est pas une recette : c'est ce qui reste après factorisation par l'exponentielle.

1.5 Les trois cas selon $\Delta$

Solutions générales sur

\mathbb{R}

(

A,B\in\mathbb{R}

)

\begin{array}{c|c|c} \text{signe de }\Delta & \text{racines} & \text{solution générale}\\\hline \Delta>0 & r_1\neq r_2\ \text{réelles} & y=A\,e^{r_1x}+B\,e^{r_2x}\\ \Delta=0 & r=-\tfrac a2\ \text{(double)} & y=(A+Bx)\,e^{rx}\\ \Delta<0 & r=p\pm iq\ \text{conjuguées} & y=e^{px}\big(A\cos qx+B\sin qx\big) \end{array}

Dans le cas

\Delta&lt;0

p=-\tfrac a2

q=\tfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2}

Le lien avec les nombres complexes Quand

\Delta&lt;0

, les racines sont complexes conjuguées

p\pm iq

: ce sont elles qui produisent les

\cos

\sin

(via

e^{iqx}=\cos qx+i\sin qx

). La partie réelle $p$ pilote l'amortissement (

e^{px}

), la partie imaginaire $q$ pilote la fréquence des oscillations : c'est le régime d'un circuit RLC.

1.6 Unicité & méthode au second ordre

Unicité avec deux conditions Il existe une unique solution vérifiant

y(x_0)=y_0

y'(x_0)=y'_0

Pourquoi DEUX conditions La solution générale contient deux constantes

A

B

: il faut donc deux équations. Une seule condition laisse une infinité de solutions. Physiquement, prédire un mouvement demande la position ET la vitesse initiales.

Méthode — second ordre ① Écrire

r^2+ar+b=0

; ② calculer

\Delta

, trouver les racines ; ③ écrire la solution générale selon le cas ; ④ traduire les conditions initiales en un système de deux équations (ne pas oublier de dériver $y$ pour la seconde) ; ⑤ résoudre et conclure.

2 · Feuille de route

L'ordre conseillé pour maîtriser le chapitre.

$y'=ay$

Solutions $Ce^{ax}$ , une condition initiale.

$y'=ay+b$

Transitoire $Ce^{ax}$ + permanent $-\tfrac ba$ ; cas $a=0$ .

Équation caractéristique

$r^2+ar+b=0$ , factorisation par $e^{rx}$ .

Les trois cas

$\Delta>0,\ =0,\ <0$ : exponentielles, $(A+Bx)e^{rx}$ , oscillations.

Conditions initiales

1 condition (ordre 1), 2 conditions (ordre 2).

Vérifier

Toujours dériver la solution trouvée.

3 · Exercices choisis

Une sélection couvrant chaque cas, avec correction guidée.

y'=ay

Exercice 1

Résoudre $y'=3y$ , puis déterminer la solution vérifiant $y(0)=5$ .

Voir la correction

Ici $a=3$ : $y(x)=Ce^{3x}$ . La condition $y(0)=5$ donne $C\,e^0=5$ , donc $C=5$ : $\boxed{y(x)=5\,e^{3x}.}$ Vérification : $y'=15e^{3x}=3\cdot 5e^{3x}=3y$ . ✓

y'=ay+b

Exercice 2

Résoudre $y'=-2y+6$ , puis trouver la solution telle que $y(0)=1$ .

Voir la correction

On identifie $a=-2,\ b=6$ . Solution constante $-\tfrac ba=-\tfrac{6}{-2}=3$ , d'où $y(x)=Ce^{-2x}+3$ . La condition $y(0)=1$ donne $C+3=1$ , soit $C=-2$ : $\boxed{y(x)=-2\,e^{-2x}+3.}$ Interprétation : quand $x\to+\infty$ , $e^{-2x}\to0$ et $y\to3$ — le transitoire s'éteint, il reste le régime permanent. ✓

Second ordre ·

\Delta>0

\Delta<0

Exercice 3

Résoudre a) $y''-5y'+6y=0$ ; b) $y''+4y=0$ .

Voir la correction

a) Équation caractéristique $r^2-5r+6=0$ , $\Delta=25-24=1>0$ . Racines $r_1=3,\ r_2=2$ , donc $\boxed{y(x)=A\,e^{3x}+B\,e^{2x}.}$ b) Ici $a=0,\ b=4$ : $r^2+4=0$ , $\Delta=-16<0$ . Racines $r=\pm2i$ , donc $p=0,\ q=2$ : $y(x)=e^{0}\big(A\cos 2x+B\sin 2x\big)=\boxed{A\cos 2x+B\sin 2x.}$ Comme $p=0$ , aucun amortissement : oscillateur harmonique. ∎

Second ordre ·

\Delta=0

Exercice 4

Résoudre $y''-4y'+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$ .

Voir la correction

1. $r^2-4r+4=(r-2)^2=0$ , $\Delta=0$ : racine double $r=2$ , donc $y(x)=(A+Bx)e^{2x}$ . 2. Deux conditions ⇒ on dérive : $y'(x)=\big(B+2A+2Bx\big)e^{2x}$ . 3. Système : $\begin{cases}y(0)=A=1\\ y'(0)=B+2A=3\end{cases}\Longrightarrow\begin{cases}A=1\\ B=1\end{cases}$ d'où $\boxed{y(x)=(1+x)\,e^{2x}.}$ Vérif : $y'(0)=(1+2)e^0=3$ . ✓

Besoin de plus d'exercices sur un cas précis ? Demande à ton professeur en cours.

4 · Astuces & pièges à éviter

Astuce

y'=ay\Rightarrow y=Ce^{ax}

: l'exponentielle, parce qu'elle est proportionnelle à sa dérivée.

Astuce

y'=ay+b

: pensez « transitoire + permanent », la solution particulière étant la constante

-\tfrac ba

Astuce Au second ordre, l'équation caractéristique vient de la factorisation par $e^{rx}$ (jamais nul) — pas d'une formule à retenir bêtement.

Astuce Toujours vérifier en dérivant la solution trouvée.

Piège Cas

a=0

dans

y'=ay+b

: l'équation devient

y'=b

, donc

y=bx+C

— surtout pas

-\tfrac ba

Piège Attention au signe de $a$ :

y'=-2y

donne

Ce^{-2x}

, pas

Ce^{2x}

Piège Ordre 2 : il faut deux conditions (

y(x_0)

y'(x_0)

) car il y a deux constantes ; n'oubliez pas de dériver

y

Piège Si

\Delta&lt;0

, c'est

q=\tfrac{\sqrt{|\Delta|}}2

qui apparaît dans

\cos(qx)

, pas

\Delta

Formulaire à retenir

y'=ay

y(x)=C\,e^{ax}

y'=ay+b\ (a\neq0)

y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}

y''+\omega^{2}y=0

y(x)=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)

Constantes déterminées par les conditions initiales

y(x_0),\ y'(x_0)

Fiche de révisionL’essentiel du chapitre en une page — formules, méthodes et astucesVoir la fiche QCM interactifTeste-toi sur ce chapitre — 15 questions auto-corrigéesCommencer le QCM

Les équations différentielles

1 · Résumé du cours

1.1 Définition

1.2 L'équation y′=ayy'=ayy′=ay

1.3 L'équation y′=ay+by'=ay+by′=ay+b

1.4 Second ordre : l'équation caractéristique

1.5 Les trois cas selon Δ\DeltaΔ

1.6 Unicité & méthode au second ordre

2 · Feuille de route

y′=ayy'=ayy′=ay

y′=ay+by'=ay+by′=ay+b

Équation caractéristique

Les trois cas

Conditions initiales

Vérifier

3 · Exercices choisis

Exercice 1

Exercice 2

Exercice 3

Exercice 4

4 · Astuces & pièges à éviter

Formulaire à retenir

1.2 L'équation $y'=ay$

1.3 L'équation $y'=ay+b$

1.5 Les trois cas selon $\Delta$

$y'=ay$

$y'=ay+b$