Les équations différentielles font le lien entre les mathématiques et la physique du programme. Cette fiche donne les solutions des équations y′ = ay et y′ = ay + b, ainsi que la méthode de résolution du second ordre selon le discriminant. En PC/SVT, elles apparaissent dans les circuits RC, la désintégration radioactive ou la cinétique chimique. Le point à ne pas rater : la solution générale s'obtient en ajoutant une solution particulière à la solution de l'équation homogène, puis on fixe la constante avec la condition initiale.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Les équations différentielles

Math Excellence

1 · Équations du premier ordre

$y'=a\,y$

• L'inconnue est une fonction, pas un nombre

$y(x)=C\,e^{ax},\quad C\in\mathbb{R}$

$y'=a\,y+b$ $(a\neq0)$

$y(x)=C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}$

• $-\dfrac ba$ : solution constante (régime permanent)

Condition initiale

• $y(x_0)=y_0$ détermine $C$
• La solution devient unique

Astuce : même schéma qu'au chapitre 4 ($F+k$).

Une infinité de solutions $C\,e^{ax}$ ; la condition $y(0)=1$ en choisit une seule (en doré).

2 · Pourquoi l'exponentielle ?

$(e^{ax})'=a\,e^{ax}$

$e^{x}$ est proportionnelle à sa dérivée

$e^{rx}\neq0$ toujours

La démonstration en une ligne

• On pose $z(x)=y(x)\,e^{-ax}$
• $z'=e^{-ax}(y'-ay)=0$
• Dérivée nulle sur un intervalle $\Rightarrow z$ constante

Donc $y=C\,e^{ax}$ — et rien d'autre.

3 · Équations du second ordre

Équation caractéristique

• Pour $y''+a\,y'+b\,y=0$ :

$r^{2}+a\,r+b=0,\quad \Delta=a^{2}-4b$

D'où elle vient

• On cherche $y=e^{rx}$
• $y''+ay'+by=e^{rx}(r^{2}+ar+b)$
• Or $e^{rx}\neq0$ : il reste le trinôme

Astuce : ce n'est pas une recette — c'est une factorisation.

4 · Les trois cas selon $\Delta$

$\Delta>0$ : deux racines réelles

$y=A\,e^{r_1x}+B\,e^{r_2x}$

$\Delta=0$ : racine double $r=-\frac a2$

$y=(A+Bx)\,e^{rx}$

\Delta<0 : racines complexes $p\pm iq$

$y=e^{px}\big(A\cos(qx)+B\sin(qx)\big)$

• $p=-\dfrac a2$, $q=\dfrac{\sqrt{|\Delta|}}{2}$

Deux conditions

• Deux constantes $A$ et $B$ $\Rightarrow$ il faut $y(x_0)$ et $y'(x_0)$

Astuce : position et vitesse initiales.

Les 3 régimes. Seul \Delta<0 donne des oscillations amorties : $p$ amortit, $q$ fait osciller.

5 · Exemples résolus

1$y'=3y,\ y(0)=5\Rightarrow y=5e^{3x}$

2$y'=-2y+6\Rightarrow y=Ce^{-2x}+3$

3$y''-5y'+6y=0\Rightarrow y=Ae^{3x}+Be^{2x}$

4$y''+4y=0\Rightarrow y=A\cos 2x+B\sin 2x$

5$y''-4y'+4y=0\Rightarrow y=(A+Bx)e^{2x}$

6$y'=-2y+6$ : $y\to3$ en $+\infty$ (régime permanent)

★ Astuces géniales

• L'inconnue est une fonction — et la réponse est presque toujours une exponentielle.
• $y'=ay+b$ : régime transitoire $Ce^{ax}$ + régime permanent $-\frac ba$.
• Ordre 1 : une condition. Ordre 2 : deux conditions (deux constantes).
• \Delta<0\Rightarrow racines complexes $\Rightarrow$ oscillations amorties (circuit RLC).
• Toujours vérifier en dérivant la solution trouvée.

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