QCM — Les équations différentielles

Le corrigé complet de ce QCM, question par question — la bonne réponse est surlignée en vert, suivie d'une remarque. Pratique pour réviser ou vérifier après avoir répondu.

1. Question 1

   Les solutions de l'équation \(y'=ay\) (\(a\) réel) sont les fonctions :

   • A\(x\mapsto ax+C\)
   • ✓\(x\mapsto C\,e^{ax}\)
   • C\(x\mapsto C\,e^{x/a}\)
   • D\(x\mapsto a\,e^{Cx}\)

   Remarque

   L'ensemble des solutions de \(y'=ay\) est \(\{x\mapsto C\,e^{ax}\mid C\in\mathbb{R}\}\).

2. Question 2

   La solution de \(y'=2y\) vérifiant \(y(0)=1\) est :

   • ✓\(x\mapsto e^{2x}\)
   • B\(x\mapsto 2e^{x}\)
   • C\(x\mapsto e^{x/2}\)
   • D\(x\mapsto 2x+1\)

   Remarque

   Les solutions sont \(x\mapsto C\,e^{2x}\) ; \(y(0)=C=1\) donne \(y(x)=e^{2x}\).

3. Question 3

   L'équation \(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) admet pour solution constante :

   • A\(y=\dfrac{b}{a}\)
   • B\(y=\dfrac{a}{b}\)
   • C\(y=0\)
   • ✓\(y=-\dfrac{b}{a}\)

   Remarque

   Une solution constante vérifie \(y'=0\), donc \(0=ay+b\) soit \(y=-\dfrac{b}{a}\).

4. Question 4

   Les solutions de \(y'=ay+b\) (\(a\neq0\)) sont les fonctions :

   • A\(x\mapsto C\,e^{ax}\)
   • B\(x\mapsto C\,e^{ax}+b\)
   • ✓\(x\mapsto C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\)
   • D\(x\mapsto C\,e^{ax}+\dfrac{b}{a}\)

   Remarque

   Solution générale = solution de \(y'=ay\) + solution particulière constante \(-\dfrac{b}{a}\) : \(x\mapsto C\,e^{ax}-\dfrac{b}{a}\).

5. Question 5

   Pour l'équation \(y''+py'+qy=0\), l'équation caractéristique est :

   • A\(pr+q=0\)
   • B\(y^2+py+q=0\)
   • ✓\(r^2+pr+q=0\)
   • D\(r^2+q=0\)

   Remarque

   On associe à \(y''+py'+qy=0\) l'équation caractéristique \(r^2+pr+q=0\).

6. Question 6

   Si l'équation caractéristique a deux racines réelles distinctes \(r_1\) et \(r_2\), les solutions sont :

   • ✓\(x\mapsto A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}\)
   • B\(x\mapsto (A+Bx)\,e^{r_1 x}\)
   • C\(x\mapsto e^{\alpha x}(A\cos\beta x+B\sin\beta x)\)
   • D\(x\mapsto A\cos r_1 x+B\sin r_2 x\)

   Remarque

   Cas \(\Delta>0\) : deux racines réelles \(r_1\neq r_2\) donnent \(x\mapsto A\,e^{r_1 x}+B\,e^{r_2 x}\).

7. Question 7

   Si l'équation caractéristique a une racine double \(r_0\), les solutions sont :

   • A\(x\mapsto A\,e^{r_0 x}\)
   • ✓\(x\mapsto (A+Bx)\,e^{r_0 x}\)
   • C\(x\mapsto A\cos r_0 x\)
   • D\(x\mapsto A\,e^{r_0 x}+B\,e^{-r_0 x}\)

   Remarque

   Cas \(\Delta=0\) : racine double \(r_0\) donne \(x\mapsto (A+Bx)\,e^{r_0 x}\).

8. Question 8

   Si l'équation caractéristique a des racines complexes \(\alpha\pm i\beta\), les solutions sont :

   • A\(x\mapsto A\,e^{\alpha x}+B\,e^{\beta x}\)
   • ✓\(x\mapsto e^{\alpha x}\big(A\cos\beta x+B\sin\beta x\big)\)
   • C\(x\mapsto (A+Bx)\,e^{\alpha x}\)
   • D\(x\mapsto A\cos\alpha x+B\sin\beta x\)

   Remarque

   Cas \(\Delta<0\) : racines \(\alpha\pm i\beta\) donnent \(x\mapsto e^{\alpha x}\big(A\cos\beta x+B\sin\beta x\big)\).

9. Question 9

   Les solutions de \(y''+4y=0\) sont :

   • A\(x\mapsto A\,e^{2x}+B\,e^{-2x}\)
   • B\(x\mapsto (A+Bx)\,e^{2x}\)
   • C\(x\mapsto A\cos 4x+B\sin 4x\)
   • ✓\(x\mapsto A\cos 2x+B\sin 2x\)

   Remarque

   \(r^2+4=0\) donne \(r=\pm 2i\) (\(\alpha=0,\ \beta=2\)), d'où \(x\mapsto A\cos 2x+B\sin 2x\).

10. Question 10

    L'équation \(y''-3y'+2y=0\) (racines \(1\) et \(2\)) a pour solution générale :

    • A\(x\mapsto (A+Bx)\,e^{x}\)
    • B\(x\mapsto A\cos x+B\sin 2x\)
    • ✓\(x\mapsto A\,e^{x}+B\,e^{2x}\)
    • D\(x\mapsto A\,e^{-x}+B\,e^{-2x}\)

    Remarque

    L'équation caractéristique \(r^2-3r+2=0\) a pour racines \(1\) et \(2\), d'où \(x\mapsto A\,e^{x}+B\,e^{2x}\).

11. Question 11

    Les solutions de l'équation \(y'=3\) (cas \(a=0\)) sont les fonctions :

    • A\(x\mapsto 3e^{x}+C\)
    • ✓\(x\mapsto 3x+C\)
    • C\(x\mapsto C\,e^{3x}\)
    • D\(x\mapsto 3\)

    Remarque

    \(y'=b\) (constante) s'intègre directement : \(y=bx+C\), soit ici \(x\mapsto 3x+C\).

12. Question 12

    Les solutions de \(y''-y=0\) sont :

    • A\(x\mapsto A\cos x+B\sin x\)
    • B\(x\mapsto (A+Bx)e^{x}\)
    • ✓\(x\mapsto A\,e^{x}+B\,e^{-x}\)
    • D\(x\mapsto A\,e^{x}\)

    Remarque

    \(r^2-1=0\) donne \(r=\pm1\) (deux racines réelles), d'où \(x\mapsto A\,e^{x}+B\,e^{-x}\).

13. Question 13

    La solution de \(y'=-2y\) vérifiant \(y(0)=5\) est :

    • ✓\(x\mapsto 5e^{-2x}\)
    • B\(x\mapsto 5e^{2x}\)
    • C\(x\mapsto -2e^{5x}\)
    • D\(x\mapsto 5-2x\)

    Remarque

    Les solutions sont \(x\mapsto C\,e^{-2x}\) ; \(y(0)=C=5\) donne \(y(x)=5e^{-2x}\).

14. Question 14

    Les solutions de \(y''+9y=0\) sont :

    • A\(x\mapsto A\,e^{3x}+B\,e^{-3x}\)
    • ✓\(x\mapsto A\cos 3x+B\sin 3x\)
    • C\(x\mapsto (A+Bx)e^{3x}\)
    • D\(x\mapsto A\cos 9x+B\sin 9x\)

    Remarque

    \(r^2+9=0\) donne \(r=\pm 3i\) (\(\alpha=0,\ \beta=3\)), d'où \(x\mapsto A\cos 3x+B\sin 3x\).

15. Question 15

    La fonction \(x\mapsto e^{3x}\) est solution de l'équation :

    • ✓\(y'=3y\)
    • B\(y'=y+3\)
    • C\(y'=\dfrac{y}{3}\)
    • D\(y'=3\)

    Remarque

    \((e^{3x})'=3e^{3x}=3y\) : la fonction \(x\mapsto e^{3x}\) vérifie \(y'=3y\).