Le produit scalaire dans l'espace prolonge en trois dimensions ce que vous connaissez déjà dans le plan. Cette fiche récapitule l'expression analytique xx′ + yy′ + zz′, la caractérisation de l'orthogonalité, le calcul d'une norme, le vecteur normal d'un plan et la distance d'un point à un plan. Au Bac PC/SVT, la géométrie dans l'espace est un exercice à part, très calculatoire mais sûr. Le conseil : posez toujours un repère orthonormé clair et vérifiez l'orthogonalité par un produit scalaire nul.

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Fiche de révision · 2ᵉ Bac PC / SVT

Le produit scalaire dans l'espace

Math Excellence

1 · Produit scalaire & orthogonalité

Définition

$\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta$

• $\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^{2}$

Expression analytique

$\vec u\cdot\vec v=xx'+yy'+zz'$

• $\|\vec u\|=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Attention : valable en repère orthonormé seulement.

Le cœur du chapitre

$\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$

• « Perpendiculaire » devient un calcul

2 · Équation cartésienne d'un plan

Vecteur normal

• $\vec n$ orthogonal à tous les vecteurs du plan
• Il suffit qu'il le soit à 2 vecteurs non colinéaires

L'équation

$M\in(P)\iff\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0$

$\Rightarrow\ ax+by+cz+d=0$

Astuce : $\vec n(a,b,c)$ se lit sur l'équation !

Positions relatives

• $(P)\parallel(P')\iff\vec n,\vec{n'}$ colinéaires
• $(P)\perp(P')\iff\vec n\cdot\vec{n'}=0$

$M\in(P)$ si et seulement si $\overrightarrow{AM}\perp\vec n$ — c'est toute l'équation du plan.

3 · Distance d'un point à un plan

La formule

$d\big(M,(P)\big)=\dfrac{|a x_M+b y_M+c z_M+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$

Ne pas oublier la valeur absolue : une distance n'est jamais négative.

Interprétation

• C'est $MH$, avec $H$ le projeté orthogonal
• Le signe de $ax_M+by_M+cz_M+d$ dit de quel côté est $M$

La distance se mesure perpendiculairement : c'est la plus courte de toutes.

4 · La sphère

Équation

$(x-a)^{2}+(y-b)^{2}+(z-c)^{2}=R^{2}$

• Centre $\Omega(a,b,c)$, rayon $R$

Discuter le signe !

• Forme canonique : $\;\cdots=k$
• $k>0$ : sphère de rayon $\sqrt k$
• $k=0$ : le point $\Omega$
• k<0 : ensemble vide

Astuce : les 3 cas font partie du barème.

Plan tangent en $A$

• Vecteur normal $=\overrightarrow{\Omega A}$

Le rayon est ⊥ au plan tangent — comme pour un cercle.

5 · Intersections : tout se joue sur $d$ et $R$

Sphère & plan

• $d>R$ : vide
• $d=R$ : tangent (1 point)
• d<R : cercle de rayon $r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}$

Astuce : $r$ n'est que Pythagore dans $\Omega HM$.

Sphère & droite

• $d>R$ : vide
• $d=R$ : tangente (1 point)
• d<R : 2 points

Par le calcul : trinôme en $t$, signe de $\Delta$

Sphère & plan : vide, tangent, ou cercle.

Sphère & droite : même logique, on compare $d$ et $R$. Seule la nature change.

6 · Exemples résolus

1$A(1,0,2)$, $\vec n(2,-1,3)\Rightarrow (P):2x-y+3z-8=0$

2$d\big(M(3,1,-1),(P)\big)=\dfrac{6}{\sqrt{14}}$

3$x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+4y-6z+5=0\Rightarrow \Omega(1,-2,3),\ R=3$

4(P):2x-y+2z-3=0\Rightarrow d=\dfrac73<3 : cercle

5$r=\sqrt{9-\tfrac{49}{9}}=\dfrac{4\sqrt2}{3}$

6$2x-y+3z-5=0\Rightarrow \vec n(2,-1,3)$ (lecture directe)

★ Astuces géniales

• Tout repose sur : $\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0$.
• Le vecteur normal se lit sur l'équation $ax+by+cz+d=0$.
• Distance : ne jamais oublier la valeur absolue.
• Sphère : forme canonique + discuter le signe (sphère / point / vide).
• Intersections : comparer $d$ et $R$. $r=\sqrt{R^{2}-d^{2}}$, c'est Pythagore.
• Plan tangent en $A$ : vecteur normal $=\overrightarrow{\Omega A}$.

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